1. integral0^2 y^2 raiz1+y^3 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar escolher uma boa substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos . Vou escolher uma substituição que simplifique essa parte. Vamos definir .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 3y^2 , dy em termos de y^2 , dy = 13 , du . Derivando em relação a , temos:
Como temos na integral original, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Vamos também ajustar os limites de integração para a variável u = 1 + 0^3 = 1 . Quando u = 1 + 2^3 = 9 :
E quando :
Então, nossa nova integral vai de até .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^2 y^2 raiz1+y^3 , dy = integral1^9 raizu cdot 13 , du = 13 integral1^9 u^1/2 , du
Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
13 cdot 23 u^3/2 |1^9 = 29 (9^3/2 - 1^3/2)
Portanto:

Passo 6

Calculando os valores:
9^3/2 = raiz9^3 = raiz729 = 27
E 29 (27 - 1) = 29 times 26 = 529 . Então:

Resposta

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