Considere a função
Mostre que
, por sua vez, não é contínua em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente quando
e quando
. O objetivo é mostrar que essa função não é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de limite de funções de várias variáveis e verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
existe e é igual a
. Ou seja:
Então, para mostrar que
não é contínua em
, basta mostrar que:
Passo 3
Uma forma de verificar o limite é calcular o valor ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes. Se sim, o limite não existe.
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então:
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Então:
Passo 6
Agora, observamos que ao nos aproximarmos de
pelo Caminho 1 o limite é
, e pelo Caminho 2 o limite é
. Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral de
quando
não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
não existe, a função
não é contínua em
.