Considere a função z = f(x, y) = { (x * y^2) / (x^2 + y^4), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) } Mostre que f, por sua vez, não é contínua em (0,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando e quando . O objetivo é mostrar que essa função não é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos precisar usar o conceito de limite de funções de várias variáveis e verificar se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f é contínua em um ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando existe e é igual a . Ou seja:
Então, para mostrar que f não é contínua em (0,0), basta mostrar que:

Passo 3

Uma forma de verificar o limite é calcular o valor ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes. Se sim, o limite não existe.
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de (0,0):
  1. Caminho 1:
  2. Caminho 2:

Passo 4

Caminho 1:
Substituindo na função:
Então:

Passo 5

Caminho 2:
Substituindo na função:
Então:

Passo 6

Agora, observamos que ao nos aproximarmos de (0,0) pelo Caminho 1 o limite é 0, e pelo Caminho 2 o limite é 1/2. Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral de f(x, y) quando não existe.

Resposta

Como o limite de f(x, y) quando não existe, a função f não é contínua em (0,0).

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