Considere a função Mostre que , por sua vez, não é contínua em .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando e quando . O objetivo é mostrar que essa função não é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de limite de funções de várias variáveis e verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando existe e é igual a . Ou seja:
Então, para mostrar que não é contínua em , basta mostrar que:

Passo 3

Uma forma de verificar o limite é calcular o valor ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes. Se sim, o limite não existe.
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de :
  1. Caminho 1:
  2. Caminho 2:

Passo 4

Caminho 1:
Substituindo na função:
Então:

Passo 5

Caminho 2:
Substituindo na função:
Então:

Passo 6

Agora, observamos que ao nos aproximarmos de pelo Caminho 1 o limite é , e pelo Caminho 2 o limite é . Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral de quando não existe.

Resposta

Como o limite de quando não existe, a função não é contínua em .

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