(a) Se tiver 10 cobaias, qual a probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas?
(b) Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24? Justifique a resposta.
© Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95 ?
(d) Quantas cobaias espera ter que usar até obter uma experiência com sucesso?
(e) Qual a probabilidade de ter que realizar 3 experiências até obter uma com sucesso?
(f) Quantas experiências espera ter que realizar até obter 10 bem-sucedidas? (binomial negativa)
(g) Calcule a probabilidade de só necessitar realizar 11 experiências até obter 10 bem sucedidas (binomial negativa)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é: se tivermos 10 cobaias, qual a probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem-sucedidas? Vamos usar a probabilidade binomial para resolver isso. Precisamos entender como calcular a probabilidade de eventos com múltiplas tentativas onde cada tentativa tem sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, “pelo menos duas” significa que podemos ter 2, 3, …, até 10 sucessos. Mas calcular tudo isso direto pode ser meio complicado, então vamos usar uma técnica mais simples: calcular o complemento, ou seja, a probabilidade de ter menos de duas experiências bem-sucedidas (0 ou 1) e depois subtrair isso de 1.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = C(n,k) cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de cobaias.
  • é o número de sucessos que queremos.

Passo 4

Vamos calcular primeiro a probabilidade de 0 sucessos:
P(0) = C(10,0) cdot p^0 cdot (1 - p)^10 = 1 cdot 1 cdot (1 - p)^10 = (1 - p)^10

Passo 5

Agora, a probabilidade de 1 sucesso:
P(1) = C(10,1) cdot p^1 cdot (1 - p)^9 = 10 cdot p cdot (1 - p)^9

Passo 6

Somando as probabilidades de 0 e 1 sucesso, temos a probabilidade de menos de duas experiências bem-sucedidas:
P(menos de duas) = P(0) + P(1) = (1 - p)^10 + 10p(1 - p)^9

Passo 7

Finalmente, para encontrar a probabilidade de pelo menos duas experiências bem-sucedidas, subtraímos a probabilidade do complemento de 1:
P(pelo menos duas) = 1 - P(menos de duas) = 1 - [(1 - p)^10 + 10p(1 - p)^9]

Resposta

A probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem-sucedidas é:
P(pelo menos duas) = 1 - (1 - p)^10 - 10p(1 - p)^9

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