1. A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 20 %. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
    a) Exatamente 5 acertem o alvo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente sabe que a probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma única flecha é de 20%, ou seja, 0,2. Ele vai lançar 30 flechas no total. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 5 dessas flechas acertarem o alvo? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de um número específico de sucessos em vários ensaios independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da Distribuição Binomial. Ela é dada por:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número total de tentativas (no caso, 30 flechas),
  • é o número de sucessos desejados (neste caso, 5 acertos),
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,2),
  • é o número de combinações de itens tomados de cada vez.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Número de combinações ( C(30, 5) = 30!5!(30-5)! ):
    0,2^5
  2. Probabilidade de 5 acertos ( 0,8^25 ):
  3. Probabilidade de 25 erros ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Calculando C(30, 5) = 30 times 29 times 28 times 27 times 265 times 4 times 3 times 2 times 1 = 142506 :
    0,2^5 = 0,00032
  2. Calculando 0,8^25 approx 0,00000118 :
  3. Calculando :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar todas as partes juntas para encontrar a probabilidade:
P(X = 5) = 142506 times 0,00032 times 0,00000118
P(X = 5) approx 142506 times 0,0000003776
P(X = 5) approx 0,0537

Resposta

A probabilidade de que exatamente 5 das 30 flechas acertem o alvo é aproximadamente 5,37%.

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