1. Um time X tem 2 / 3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:
    a) X vence exatamente três partidas.

Passo 1

Vamos resumir o problema: O time X tem 2/3 de chance de vencer uma partida. Queremos saber a probabilidade de X vencer exatamente 3 das 5 partidas que ele jogar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os parâmetros da distribuição binomial:
  • Número de tentativas:
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa:
  • Número de sucessos desejados:

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de elementos tomados a .

Passo 4

Calculamos o coeficiente binomial:
binom53 = 5!3! cdot (5-3)! = 5 cdot 42 cdot 1 = 10

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(3) = 10 cdot (23)^3 cdot (1 - 23)^5-3

Passo 6

Simplificamos as potências e calculamos:
P(3) = 10 cdot (827) cdot (13)^2 = 10 cdot 827 cdot 19 = 10 cdot 8243 = 80243

Resposta

A probabilidade de o time X vencer exatamente três das cinco partidas é , aproximadamente 0,3296 ou 32,96%.

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