1. O centro de meteorologia do estado verificou que as chances de chuva em alguns dias da semana, considerando n=7 dias e as chances de chover p=30 %. Determine as chances de chover em até dois dias e determine as chances de chover em três dias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as chances de chover em até dois dias e exatamente três dias numa semana de 7 dias, onde a probabilidade de chover em qualquer dia é de 30%. Vamos usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para calcular probabilidades de eventos que têm apenas dois resultados possíveis (como chover ou não chover) em vários ensaios independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos:
  • Um número fixo de tentativas (no nosso caso, 7 dias).
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis (chover ou não chover).
  • A probabilidade de sucesso (chover) é a mesma em cada tentativa (30% ou 0,3).
  • As tentativas são independentes umas das outras.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número total de tentativas (7 dias).
  • é o número de sucessos desejados (dias de chuva).
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,3).
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Vamos calcular as chances de chover em até dois dias. Isso significa que vamos somar as probabilidades de chover 0, 1 ou 2 dias.
Primeiro, calculamos P(X = 0) = binom70 cdot 0,3^0 cdot 0,7^7 = 1 cdot 1 cdot 0,7^7 approx 0,0824 :

Passo 4

Agora, calculamos P(X = 1) = binom71 cdot 0,3^1 cdot 0,7^6 = 7 cdot 0,3 cdot 0,7^6 approx 0,2772 :

Passo 5

Em seguida, calculamos P(X = 2) = binom72 cdot 0,3^2 cdot 0,7^5 = 21 cdot 0,09 cdot 0,7^5 approx 0,3601 :

Passo 6

Para encontrar as chances de chover até dois dias, somamos essas três probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0824 + 0,2772 + 0,3601 = 0,7197 ou 71,97%

Passo 7

Agora, vamos calcular as chances de chover exatamente três dias. Usamos a mesma fórmula da Distribuição Binomial para P(X = 3) = binom73 cdot 0,3^3 cdot 0,7^4 = 35 cdot 0,027 cdot 0,7^4 approx 0,2668 :

Resposta

As chances de chover em até dois dias são aproximadamente 71,97% e as chances de chover exatamente três dias são aproximadamente 26,68%.

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