Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais que descreve como duas populações,
e
, mudam ao longo do tempo. O conteúdo aqui envolve equilíbrio de sistemas dinâmicos, e vamos precisar achar os pontos onde as populações não mudam mais, ou seja, os pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos de equilíbrio, precisamos resolver onde as derivadas
e
são iguais a zero. Isso significa que as populações
e
não estão aumentando nem diminuindo.
Passo 3
Vamos começar com a primeira equação:
Para que isso seja igual a zero, ou
ou
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação:
Novamente, para que isso seja zero, ou
ou
.
Passo 5
Vamos combinar essas condições para encontrar todas as possibilidades de pontos de equilíbrio:
- Caso 1:
e - Caso 2:
e → - Caso 3:
e → →
Passo 6
Agora, vamos resolver o caso onde ambas as expressões são diferentes de zero:
Primeiro, da primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Então, substituindo
na expressão de
:
Resposta
Os pontos de equilíbrio do sistema são: