d x / d t = x(1,5 - 0,5 x - y)
d y / d t = y(2 - y - 1,125 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais que descreve como duas populações, e , mudam ao longo do tempo. O conteúdo aqui envolve equilíbrio de sistemas dinâmicos, e vamos precisar achar os pontos onde as populações não mudam mais, ou seja, os pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos de equilíbrio, precisamos resolver onde as derivadas e são iguais a zero. Isso significa que as populações e não estão aumentando nem diminuindo.

Passo 3

Vamos começar com a primeira equação:
Para que isso seja igual a zero, ou ou .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação:
Novamente, para que isso seja zero, ou ou .

Passo 5

Vamos combinar essas condições para encontrar todas as possibilidades de pontos de equilíbrio:
  1. Caso 1: e
  2. Caso 2: e
  3. Caso 3: e

Passo 6

Agora, vamos resolver o caso onde ambas as expressões são diferentes de zero:
Primeiro, da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Então, substituindo na expressão de :

Resposta

Os pontos de equilíbrio do sistema são:

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