Mostre que a função
tem como superfície de nível o parabolóide de equação
. Determine o nível desta superfície para a função
.
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A função dada é
. A questão quer que a gente mostre que as superfícies de nível dessa função são parabolóides com a equação
. Além disso, precisamos descobrir qual é o nível correspondente a essa superfície para a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Basicamente, para uma função de três variáveis como
, uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Essas superfícies mostram onde a função assume o mesmo valor
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar a superfície de nível que corresponda ao parabolóide
. Para isso, vamos igualar a função a uma constante
:
Passo 4
Nosso objetivo é que essa equação seja igual à equação do parabolóide
. Vamos rearranjar a equação que obtivemos:
Para que isso seja igual a
, precisamos que os termos envolvendo
sejam iguais. Observando a equação, vemos que para eliminar o termo negativo de
, devemos ter
. Contudo, isso dependeria do valor de
, o que não é desejável para uma superfície de nível fixa.
Passo 5
Uma maneira mais direta é escolher
de forma que o termo
seja positivo na equação do parabolóide. Vamos igualar diretamente:
Ah, percebemos que isso não está dando exatamente o que queremos. Parece que houve um erro na interpretação anterior. Na verdade, para que
, devemos ajustar
:
Agora, isso se alinha perfeitamente com a equação do parabolóide
.
Resposta
A superfície
é a superfície de nível
para a função
. Portanto, o nível desta superfície para a função
é zero.