Mostre que a função f(x, y, z) = z - x^2 + y^2 tem como superfície de nível o parabolóide de equação z = x^2 + y^2. Determine o nível desta superfície para a função f.

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A função dada é . A questão quer que a gente mostre que as superfícies de nível dessa função são parabolóides com a equação . Além disso, precisamos descobrir qual é o nível correspondente a essa superfície para a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Basicamente, para uma função de três variáveis como , uma superfície de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Essas superfícies mostram onde a função assume o mesmo valor .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar a superfície de nível que corresponda ao parabolóide . Para isso, vamos igualar a função a uma constante :

Passo 4

Nosso objetivo é que essa equação seja igual à equação do parabolóide . Vamos rearranjar a equação que obtivemos:
Para que isso seja igual a , precisamos que os termos envolvendo sejam iguais. Observando a equação, vemos que para eliminar o termo negativo de , devemos ter . Contudo, isso dependeria do valor de , o que não é desejável para uma superfície de nível fixa.

Passo 5

Uma maneira mais direta é escolher de forma que o termo seja positivo na equação do parabolóide. Vamos igualar diretamente:
Ah, percebemos que isso não está dando exatamente o que queremos. Parece que houve um erro na interpretação anterior. Na verdade, para que , devemos ajustar :
Agora, isso se alinha perfeitamente com a equação do parabolóide .

Resposta

A superfície é a superfície de nível para a função . Portanto, o nível desta superfície para a função é zero.

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