Encontre o comprimento de arco da curva paramétrica.
x = 1/2 t, y = 1/3 (1-t)^(3/2), z = 1/3 (1+t)^(3/2) ; -1 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco de uma curva paramétrica no espaço. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente no tópico de Comprimento de Arco de Curvas Paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional e calcular as derivadas das funções , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica no espaço, dada por , e , no intervalo de até . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma (integra) todas as pequenas distâncias ao longo da curva de até .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das funções , e em relação a .
Dadas as funções:
Calculando as derivadas:
Para :
Para :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Vamos somar os termos dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva paramétrica é unidades.

Exercícios relacionados