Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se a reta
for parametrizada pela função vetorial
, então
será lisa.
Se a reta
Passo 1
Então, a gente tem uma reta definida pela equação
e queremos saber se, ao parametrizar essa reta usando uma função vetorial
, essa função será lisa. Aqui, vamos falar sobre funções vetoriais e o que significa ser uma função lisa. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma parametrização de reta e o que caracteriza uma função lisa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial. É uma função que associa um número real
a um vetor no plano ou no espaço, geralmente representado como
. No caso da reta
, vamos criar uma função vetorial que descreve todos os pontos dessa reta conforme
varia.
Passo 3
Para parametrizar a reta
, podemos definir
. Como
, então
também. Assim, a função vetorial fica:
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto na reta
.
Passo 4
Agora, vamos entender o que significa uma função ser lisa. Uma função vetorial é considerada lisa se ela é diferenciável e sua derivada não é o vetor nulo em nenhum ponto do domínio. Vamos calcular a derivada de
:
A derivada
é constante e igual a
, que nunca é o vetor nulo. Isso mostra que a função é diferenciável e sua derivada não zera em nenhum ponto.
Resposta
Verdadeiro. A função vetorial
é lisa porque é diferenciável em todo o seu domínio e sua derivada
nunca é o vetor nulo.