Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se a reta y = x for parametrizada pela função vetorial r(t), então r(t) será lisa.

Passo 1

Então, a gente tem uma reta definida pela equação e queremos saber se, ao parametrizar essa reta usando uma função vetorial , essa função será lisa. Aqui, vamos falar sobre funções vetoriais e o que significa ser uma função lisa. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma parametrização de reta e o que caracteriza uma função lisa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial. É uma função que associa um número real a um vetor no plano ou no espaço, geralmente representado como . No caso da reta , vamos criar uma função vetorial que descreve todos os pontos dessa reta conforme varia.

Passo 3

Para parametrizar a reta , podemos definir . Como , então também. Assim, a função vetorial fica:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na reta .

Passo 4

Agora, vamos entender o que significa uma função ser lisa. Uma função vetorial é considerada lisa se ela é diferenciável e sua derivada não é o vetor nulo em nenhum ponto do domínio. Vamos calcular a derivada de :
A derivada é constante e igual a , que nunca é o vetor nulo. Isso mostra que a função é diferenciável e sua derivada não zera em nenhum ponto.

Resposta

Verdadeiro. A função vetorial é lisa porque é diferenciável em todo o seu domínio e sua derivada nunca é o vetor nulo.

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