x 13,5 15,9 19,1
p(x) 0,2 0,5 0,3
6a) Determine E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística. Vamos precisar dos valores de e suas respectivas probabilidades .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança matemática E(X) = sum x cdot p(x) . A esperança é basicamente a média ponderada dos valores de , ou seja, cada valor de multiplicado pela sua probabilidade.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
E(X) = 13,5 times 0,2 + 15,9 times 0,5 + 19,1 times 0,3
Calculando cada termo:
13,5 times 0,2 = 2,7
15,9 times 0,5 = 7,95
19,1 times 0,3 = 5,73

Passo 4

Agora, somamos esses resultados para obter E(X) = 2,7 + 7,95 + 5,73 = 16,38 :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a variância Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . A variância mede o quanto os valores de E(X^2) = sum x^2 cdot p(x) estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular :

Passo 6

Substituindo os valores:
E(X^2) = 13,5^2 times 0,2 + 15,9^2 times 0,5 + 19,1^2 times 0,3
Calculando cada termo:
13,5^2 = 182,25 Rightarrow 182,25 times 0,2 = 36,45
15,9^2 = 252,81 Rightarrow 252,81 times 0,5 = 126,405
19,1^2 = 364,81 Rightarrow 364,81 times 0,3 = 109,443

Passo 7

Somando esses resultados:
E(X^2) = 36,45 + 126,405 + 109,443 = 272,298

Passo 8

Agora, calculamos a variância usando a fórmula mencionada:
Var(X) = 272,298 - (16,38)^2 = 272,298 - 268,3044 = 3,9936

Resposta

A esperança matemática é 16,38 e a variância é aproximadamente 3,99.

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