Mostre que se A e B são independentes, então S backslash A e B são independentes. (DICA: Use o item anterior.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois eventos P(A cap B) = P(A) cdot P(B) e que são independentes. Queremos provar que o complemento de (escrito como ) também é independente de .
Para resolver isso, precisamos lembrar do conceito de independência de eventos na probabilidade. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro ocorrer. A fórmula matemática para isso é:
Vamos usar essa definição para provar a independência entre e .

Passo 2

Primeiro, sabemos que a probabilidade do complemento de P(S backslash A) = 1 - P(A) é:
Isso porque a soma das probabilidades de um evento e seu complemento é sempre 1.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade da interseção entre P((S backslash A) cap B) = P(B) - P(A cap B) e , ou seja, . Isso representa a probabilidade de que ocorra e não ocorra ao mesmo tempo.
Sabemos que:
Isso porque a probabilidade de ocorrer sem é a probabilidade total de menos a parte onde também ocorre.

Passo 4

Como P((S backslash A) cap B) = P(B) - P(A) cdot P(B) = P(B) cdot (1 - P(A)) e são independentes, podemos substituir por :

Passo 5

Observamos que:
P((S backslash A) cap B) = P(B) cdot (1 - P(A)) = P(S backslash A) cdot P(B)
Isso mostra que a probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades dos eventos individuais.

Resposta

Portanto, e são independentes, pois .

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