Mostre que se
e
são independentes, então
e
são independentes. (DICA: Use o item anterior.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois eventos
e
que são independentes. Queremos provar que o complemento de
(escrito como
) também é independente de
.
Para resolver isso, precisamos lembrar do conceito de independência de eventos na probabilidade. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro ocorrer. A fórmula matemática para isso é:
Vamos usar essa definição para provar a independência entre
e
.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a probabilidade do complemento de
é:
Isso porque a soma das probabilidades de um evento e seu complemento é sempre 1.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade da interseção entre
e
, ou seja,
. Isso representa a probabilidade de que
ocorra e
não ocorra ao mesmo tempo.
Sabemos que:
Isso porque a probabilidade de
ocorrer sem
é a probabilidade total de
menos a parte onde
também ocorre.
Passo 4
Como
e
são independentes, podemos substituir
por
:
Passo 5
Observamos que:
Isso mostra que a probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades dos eventos individuais.
Resposta
Portanto,
e
são independentes, pois
.