(13.61) Uma força de amortecimento Fx=-b vx atua sobre um rato infeliz de 0,30 kg que se move preso na extremidade de uma mola cuja constante é k=2,7 N / m. (b) Para qual valor da constante b o movimento é criticamente amortecido?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde um rato de 0,30 kg está preso na extremidade de uma mola com constante elástica . Além disso, há uma força de amortecimento que depende da velocidade do rato, dada por . O que queremos encontrar é o valor da constante que faz com que o movimento seja criticamente amortecido.
Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas massa-mola-amortecedor e como identificar o amortecimento crítico usando as fórmulas da física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é amortecimento crítico. Em sistemas massa-mola-amortecedor, existem três tipos de amortecimento:
  1. Subamortecido: O sistema oscila enquanto vai se estabilizando.
  2. Criticamente amortecido: O sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
  3. Superamortecido: O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no amortecimento crítico.
Queremos o caso crítico, que é aquele limiar entre oscilar e não oscilar.

Passo 3

A condição para que o sistema seja criticamente amortecido envolve a massa bc = 2 raizm k , a constante da mola e a constante de amortecimento . A equação que relaciona esses valores é:
Aqui, representa a constante de amortecimento crítica.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar bc = 2 raiz0,30 times 2,7 .
Dados:
  • Massa
  • Constante da mola
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular o valor dentro da raiz primeiro:
0,30 times 2,7 = 0,81
Então,
bc = 2 raiz0,81
Sabemos que bc = 2 times 0,9 = 1,8 , kg/s , então:

Resposta

O valor da constante para que o movimento seja criticamente amortecido é 1,8 kg/s.

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