(13.80) Uma força de 40,0 N estica uma mola vertical de 0,250 m. (b) Se a amplitude do movimento for igual a 0,050 m e o período for o especificado no item (a), onde estará o bloco e em qual sentido ele estará se movendo 0,35 s depois de atravessar a posição de equilíbrio de cima para baixo?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve o movimento de um bloco preso a uma mola. O enunciado nos diz que uma força de 40,0 N estica a mola em 0,250 m. Além disso, temos que a amplitude do movimento é 0,050 m e queremos descobrir a posição e a direção do bloco 0,35 s depois de passar pela posição de equilíbrio de cima para baixo. Para resolver, precisamos entender as leis do movimento harmônico simples e como calcular a posição de um objeto em oscilação após um determinado tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola usando a lei de Hooke, que relaciona a força aplicada a uma mola com sua deformação. A fórmula é:
F = k cdot x
Onde:
  • k = Fx = 40,00,250 = 160 N/m é a força aplicada,
  • é a constante elástica da mola,
  • é a deformação (alongamento ou compressão) da mola.
Dado que e , podemos rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, precisamos determinar o período T = 2pi raizmk do movimento harmônico simples. O período é o tempo que o bloco leva para completar uma oscilação completa e é dado pela fórmula:
No entanto, no item (a) do exercício (não fornecido aqui), provavelmente já foi calculado o período. Vamos supor que o período foi determinado anteriormente.

Passo 4

Sabemos que o movimento do bloco pode ser descrito pela função:
x(t) = A cdot cos(omega t + phi)
Onde:
  • x(t) = A cdot cos(2piT t) é a amplitude do movimento,
  • é a frequência angular ( ),
  • é a fase inicial.
Como o bloco passa pela posição de equilíbrio de cima para baixo, podemos considerar que . Então, a posição em função do tempo fica:

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
  • Amplitude omega = 2piT ,
  • Período x(0,35) = 0,050 cdot cos(2piT cdot 0,35) do item (a),
  • Tempo .
Vamos calcular :
Assim, a posição será:

Passo 6

Após calcular , teremos a posição do bloco em metros. Se o valor de for positivo, o bloco está acima da posição de equilíbrio; se for negativo, está abaixo. Além disso, para saber a direção do movimento, observamos se o bloco está se movendo para cima ou para baixo naquele instante.

Passo 7

Como não temos o valor exato do período omega = 2pi1,00 = 2pi rad/s do item (a), vamos supor que ele foi calculado como x(0,35) = 0,050 cdot cos(2pi cdot 0,35) = 0,050 cdot cos(0,7pi) (apenas para exemplificação). Então:
cos(0,7pi) approx cos(126^circ) approx -0,5878
Substituindo na posição:
x(0,35) = 0,050 cdot (-0,5878) approx -0,0294 m
Calculando o cosseno:
Então:

Resposta

0,029 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para cima.

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