(13.80) Uma força de estica uma mola vertical de . (b) Se a amplitude do movimento for igual a e o período for o especificado no item (a), onde estará o bloco e em qual sentido ele estará se movendo 0,35 s depois de atravessar a posição de equilíbrio de cima para baixo?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve o movimento de um bloco preso a uma mola. O enunciado nos diz que uma força de estica a mola em . Além disso, temos que a amplitude do movimento é e queremos descobrir a posição e a direção do bloco depois de passar pela posição de equilíbrio de cima para baixo. Para resolver, precisamos entender as leis do movimento harmônico simples e como calcular a posição de um objeto em oscilação após um determinado tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola usando a lei de Hooke, que relaciona a força aplicada a uma mola com sua deformação. A fórmula é:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a constante elástica da mola,
  • é a deformação (alongamento ou compressão) da mola.
Dado que e , podemos rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, precisamos determinar o período do movimento harmônico simples. O período é o tempo que o bloco leva para completar uma oscilação completa e é dado pela fórmula:
No entanto, no item (a) do exercício (não fornecido aqui), provavelmente já foi calculado o período. Vamos supor que o período foi determinado anteriormente.

Passo 4

Sabemos que o movimento do bloco pode ser descrito pela função:
Onde:
  • é a amplitude do movimento,
  • é a frequência angular ( ),
  • é a fase inicial.
Como o bloco passa pela posição de equilíbrio de cima para baixo, podemos considerar que . Então, a posição em função do tempo fica:

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
  • Amplitude ,
  • Período do item (a),
  • Tempo .
Vamos calcular :
Assim, a posição será:

Passo 6

Após calcular , teremos a posição do bloco em metros. Se o valor de for positivo, o bloco está acima da posição de equilíbrio; se for negativo, está abaixo. Além disso, para saber a direção do movimento, observamos se o bloco está se movendo para cima ou para baixo naquele instante.

Passo 7

Como não temos o valor exato do período do item (a), vamos supor que ele foi calculado como (apenas para exemplificação). Então:
Substituindo na posição:
Calculando o cosseno:
Então:

Resposta

abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para cima.

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