(13.80) Uma força de
estica uma mola vertical de
. (b) Se a amplitude do movimento for igual a
e o período for o especificado no item (a), onde estará o bloco e em qual sentido ele estará se movendo 0,35 s depois de atravessar a posição de equilíbrio de cima para baixo?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve o movimento de um bloco preso a uma mola. O enunciado nos diz que uma força de
estica a mola em
. Além disso, temos que a amplitude do movimento é
e queremos descobrir a posição e a direção do bloco
depois de passar pela posição de equilíbrio de cima para baixo. Para resolver, precisamos entender as leis do movimento harmônico simples e como calcular a posição de um objeto em oscilação após um determinado tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola usando a lei de Hooke, que relaciona a força aplicada a uma mola com sua deformação. A fórmula é:
Onde:
-
é a força aplicada, -
é a constante elástica da mola, -
é a deformação (alongamento ou compressão) da mola.
Dado que
e
, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o período
do movimento harmônico simples. O período é o tempo que o bloco leva para completar uma oscilação completa e é dado pela fórmula:
No entanto, no item (a) do exercício (não fornecido aqui), provavelmente já foi calculado o período. Vamos supor que o período
foi determinado anteriormente.
Passo 4
Sabemos que o movimento do bloco pode ser descrito pela função:
Onde:
-
é a amplitude do movimento, -
é a frequência angular ( ), -
é a fase inicial.
Como o bloco passa pela posição de equilíbrio de cima para baixo, podemos considerar que
. Então, a posição em função do tempo fica:
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos:
- Amplitude
, - Período
do item (a), - Tempo
.
Vamos calcular
:
Assim, a posição será:
Passo 6
Após calcular
, teremos a posição do bloco em metros. Se o valor de
for positivo, o bloco está acima da posição de equilíbrio; se for negativo, está abaixo. Além disso, para saber a direção do movimento, observamos se o bloco está se movendo para cima ou para baixo naquele instante.
Passo 7
Como não temos o valor exato do período
do item (a), vamos supor que ele foi calculado como
(apenas para exemplificação). Então:
Substituindo na posição:
Calculando o cosseno:
Então: