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Determinar os elementos dos conjuntos
e
, sabendo que
e
são partes de
tais que:
a)
e
.
Determinar os elementos dos conjuntos
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos. A gente precisa encontrar os elementos dos conjuntos $ A $, $ B $ e $ E $, sabendo que $ A $ e $ B $ são partes de $ E $. As informações que temos são:
- $ A \cup B = {1,3,8,9} $ (a união de $ A $ e $ B $)
- $ C_E^A = {4,6,9} $ (o complemento de $ A $ em $ E $)
- $ C_E^B = {3,4,6} $ (o complemento de $ B $ em $ E $)
Vamos usar conceitos como união de conjuntos e complemento para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o complemento de $ A $ em $ E $. O complemento $ C_E^A $ inclui todos os elementos que estão em $ E $ mas não estão em $ A $. Ou seja:
Da mesma forma, para o complemento de $ B $:
Passo 3
Agora, vamos expressar $ E $ em termos de $ A $ e $ C_E^A $:
E também:
Como $ A \cup B = {1,3,8,9} $, podemos combinar essas informações para encontrar $ E $.
Passo 4
Vamos listar todos os elementos que sabemos que estão em $ A \cup B $, nos complementos e em $ E $. Sabemos que:
- $ A \cup B = {1,3,8,9} $
- $ C_E^A = {4,6,9} $
- $ C_E^B = {3,4,6} $
Os elementos de $ E $ serão a união de $ A $, $ B $, $ C_E^A $ e $ C_E^B $, mas sem repetir. Então:
Substituindo os conjuntos:
Passo 5
Vamos juntar todos os elementos para formar $ E $:
Agora que temos $ E $, podemos encontrar $ A $ e $ B $ usando os complementos.
Passo 6
Para encontrar $ A $, sabemos que:
E para $ B $:
Resposta
Os conjuntos são:
- $ A = {1,3,8} $
- $ B = {1,8,9} $
- $ E = {1,3,4,6,8,9} $