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Determinar os elementos dos conjuntos A, B e E, sabendo que A e B são partes de E tais que:
a) A cup B=1,3,8,9, CE^A=4,6,9 e CE^B=3,4,6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos. A gente precisa encontrar os elementos dos conjuntos $ A $, $ B $ e $ E $, sabendo que $ A $ e $ B $ são partes de $ E $. As informações que temos são:
  • $ A \cup B = {1,3,8,9} $ (a união de $ A $ e $ B $)
  • $ C_E^A = {4,6,9} $ (o complemento de $ A $ em $ E $)
  • $ C_E^B = {3,4,6} $ (o complemento de $ B $ em $ E $)
Vamos usar conceitos como união de conjuntos e complemento para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o complemento de $ A $ em $ E $. O complemento $ C_E^A $ inclui todos os elementos que estão em $ E $ mas não estão em $ A $. Ou seja:
A
Da mesma forma, para o complemento de $ B $:
E

Passo 3

Agora, vamos expressar $ E $ em termos de $ A $ e $ C_E^A $:
E
E também:
A
Como $ A \cup B = {1,3,8,9} $, podemos combinar essas informações para encontrar $ E $.

Passo 4

Vamos listar todos os elementos que sabemos que estão em $ A \cup B $, nos complementos e em $ E $. Sabemos que:
  • $ A \cup B = {1,3,8,9} $
  • $ C_E^A = {4,6,9} $
  • $ C_E^B = {3,4,6} $
Os elementos de $ E $ serão a união de $ A $, $ B $, $ C_E^A $ e $ C_E^B $, mas sem repetir. Então:
A cup B
Substituindo os conjuntos:
E

Passo 5

Vamos juntar todos os elementos para formar $ E $:
E
Agora que temos $ E $, podemos encontrar $ A $ e $ B $ usando os complementos.

Passo 6

Para encontrar $ A $, sabemos que:
A
E para $ B $:
A = E setminus CE^A = 1,3,4,6,8,9 setminus 4,6,9 = 1,3,8

Resposta

Os conjuntos são:
  • $ A = {1,3,8} $
  • $ B = {1,8,9} $
  • $ E = {1,3,4,6,8,9} $

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