Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema que envolve contar quantos alunos fizeram uma prova com dois problemas. A gente vai usar conceitos de conjuntos e diagrama de Venn para resolver isso. Vamos precisar entender quantos alunos acertaram cada problema, quem acertou ambos e quem errou algum.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • 300 alunos acertaram somente um dos problemas.
  • 260 alunos acertaram o segundo problema.
  • 100 alunos acertaram os dois problemas.
  • 210 alunos erraram o primeiro problema.

Passo 3

Vamos desenhar um Diagrama de Venn com dois círculos: um para o primeiro problema (P1) e outro para o segundo problema (P2).
  • A parte que só está no P1 representa quem acertou apenas o primeiro problema.
  • A parte que só está no P2 representa quem acertou apenas o segundo problema.
  • A interseção dos dois círculos é quem acertou os dois problemas.

Passo 4

Sabemos que 100 alunos acertaram os dois problemas. Então, na interseção do diagrama, temos 100 alunos.

Passo 5

Também sabemos que 300 alunos acertaram somente um dos problemas. Isso inclui:
  • Quem acertou só o primeiro problema.
  • Quem acertou só o segundo problema.
Mas como sabemos que 100 acertaram os dois, precisamos distribuir esses 300 entre os dois únicos.

Passo 6

Já que 260 alunos acertaram o segundo problema no total, e 100 deles acertaram os dois, então quem acertou apenas o segundo problema é:
$ 260 - 100 = 160 $ alunos.

Passo 7

Agora, sabendo que 300 alunos acertaram somente um dos problemas e 160 deles acertaram apenas o segundo, então quem acertou somente o primeiro problema é:
$ 300 - 160 = 140 $ alunos.

Passo 8

Até agora, temos:
  • 140 alunos acertaram só o primeiro problema.
  • 160 alunos acertaram só o segundo problema.
  • 100 alunos acertaram ambos.
Agora, vamos somar esses grupos para encontrar quantos alunos acertaram pelo menos um problema:
$ 140 + 160 + 100 = 400 $ alunos.

Passo 9

Sabemos também que 210 alunos erraram o primeiro problema. Esses alunos podem ter acertado o segundo ou não acertado nenhum.
Mas já contabilizamos os que acertaram o segundo problema, que são 160 (apenas o segundo) e 100 (ambos), totalizando 260 que acertaram o segundo problema.
Então, os 210 que erraram o primeiro podem incluir:
  • Quem acertou apenas o segundo problema: 160 alunos.
  • Quem não acertou nenhum problema.
Vamos descobrir quantos não acertaram nenhum problema:
Total que erraram o primeiro: 210
Já que 160 desses acertaram o segundo, então:
$ 210 - 160 = 50 $ alunos erraram ambos os problemas.

Passo 10

Agora, vamos somar todos os grupos para encontrar o total de alunos que fizeram a prova:
  • 140 acertaram só o primeiro.
  • 160 acertaram só o segundo.
  • 100 acertaram ambos.
  • 50 erraram ambos.
$ 140 + 160 + 100 + 50 = 450 $ alunos.

Resposta

No total, 450 alunos fizeram a prova.

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