Determinar os elementos dos conjuntos
e
, sabendo que
e
são partes de
tais que:
b)
e
b)
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos juntos. A questão pede para determinar os elementos dos conjuntos $ A $, $ B $ e $ E $, sabendo que $ A $ e $ B $ são subconjuntos de $ E $ com algumas características específicas:
- $ A \cup B = {1,5,6,9,13,14} $
- $ C_{E}^{A} = {2,5,9,13,18,20} $
- $ C_{E}^{B} = {2,6,18,20} $
Vamos precisar entender conceitos como união de conjuntos e complemento de um conjunto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o complemento de um conjunto. $ C_{E}^{A} $ representa todos os elementos que estão em $ E $ mas não estão em $ A $. O mesmo vale para $ C_{E}^{B} $, que são os elementos em $ E $ que não estão em $ B $.
Então, para encontrar todos os elementos de $ E $, precisamos considerar os elementos que estão tanto em $ A $ e $ B $ quanto nos seus complementos.
Passo 3
Sabemos que $ A \cup B = {1,5,6,9,13,14} $. Isso significa que todos esses números estão em $ A $, ou em $ B $, ou em ambos. Agora, olhando para os complementos:
- $ C_{E}^{A} = {2,5,9,13,18,20} $ indica que esses números não estão em $ A $.
- $ C_{E}^{B} = {2,6,18,20} $ indica que esses números não estão em $ B $.
Passo 4
Vamos tentar encontrar $ E $. Como $ E $ é o conjunto que contém todos os elementos de $ A $ e $ B $ mais os seus complementos, podemos combinar tudo:
Substituindo os valores que temos:
Unindo tudo, eliminando repetições:
Passo 5
Agora que temos $ E $, vamos encontrar $ A $ e $ B $ usando os complementos.
Para $ A $:
Sabemos que $ C_{E}^{A} = {2,5,9,13,18,20} $, então $ A $ é o complemento desses elementos em $ E $:
Para $ B $:
Analogamente, $ C_{E}^{B} = {2,6,18,20} $, então:
Resposta
Os conjuntos são:
- $ A = {1,6,14} $
- $ B = {1,5,9,13,14} $
- $ E = {1,2,5,6,9,13,14,18,20} $