Simplificar as expressões:
a) (A cup B) cap(A cup B^C) b) (A cap B) cup(A cap B^C)
c) (A cap(A^C cup B))^C cup B d) (A^C cup B)^C cup(A^C cup B^C)^C
e) A cap((A cap B^C) cup(A^C cap B)) f) (A cap B) cup(A^C cap B) cup(A cap B^C) cup(A^C cap B^C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a letra a) do exercício que você enviou. O enunciado pede para simplificar a seguinte expressão de conjuntos:
(A cup B) cap (A cup B^C)
Aqui, estamos trabalhando com uniões ( cup), interseções ( cap) e complementos ( B^C). Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos conjuntos, como a distributiva e De Morgan. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que temos:
(A cup B) cap (A cup B^C)
Queremos simplificar essa interseção. Uma boa estratégia é aplicar a propriedade distributiva da interseção em relação à união. A propriedade diz que:
X cap (Y cup Z) = (X cap Y) cup (X cap Z)
Aplicando isso à nossa expressão:
(A cup B) cap (A cup B^C) = A cup (B cap B^C)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a parte B cap B^C. Aqui, temos a interseção de um conjunto com seu complemento. Sabemos que:
B cap B^C = emptyset
Isso porque não há elementos que pertencem simultaneamente a B e a B^C.

Passo 4

Substituindo B cap B^C por emptyset na expressão, temos:
A cup emptyset
Sabemos que a união de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto:
A cup emptyset = A

Passo 5

Então, chegamos à simplificação final da expressão original:
(A cup B) cap (A cup B^C) = A

Resposta

A expressão simplificada é:
A

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