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Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
(a) z = (x^2 + y^2)^2,
P = (1, 2, 25)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais e o gradiente, que nos ajudam a encontrar planos tangentes e retas normais em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está de fato na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está correto na superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções e , respectivamente.
A função é .
Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções e no ponto .

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal tem a direção do vetor gradiente da função no ponto . O vetor gradiente é dado por:
Substituindo os valores que já encontramos:
A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor gradiente e é o parâmetro.

Resposta

Equação do plano tangente:
Equação paramétrica da reta normal:

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