Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em
e em
.
f)
f)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para a gente calcular as derivadas parciais da função
em todo o domínio. Depois disso, precisamos verificar, usando a definição de diferenciabilidade, se essa função é diferenciável nos pontos
e
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e diferenciabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Aqui, diferenciamos
em relação a
e
em relação a
, que como
é constante, a derivada é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
De forma similar, diferenciamos
em relação a
e
que, mantendo
constante, a derivada é zero.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais
e
, vamos verificar se a função é diferenciável nos pontos
e
. Para isso, usamos a definição de diferenciabilidade, que diz que uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear nesse ponto.
Passo 6
A definição de diferenciabilidade envolve verificar se o limite:
onde
é o ponto em questão. Vamos aplicar isso para os pontos
e
.
Passo 7
Primeiro, para o ponto
:
Substituindo na expressão do limite:
Então, a função é diferenciável em
.
Passo 8
Agora, para o ponto
:
Substituindo no limite:
Podemos ver que os termos
dominam quando
, e esse limite não será zero. Portanto, a função não é diferenciável em
.
Resposta
As derivadas parciais de
são
e
. A função é diferenciável no ponto
e não é diferenciável no ponto
.