Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em (0,0) e em 1,1.
f) f(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para a gente calcular as derivadas parciais da função em todo o domínio. Depois disso, precisamos verificar, usando a definição de diferenciabilidade, se essa função é diferenciável nos pontos e . Vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e diferenciabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função . As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Aqui, diferenciamos em relação a e em relação a , que como é constante, a derivada é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
De forma similar, diferenciamos em relação a e que, mantendo constante, a derivada é zero.

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais e , vamos verificar se a função é diferenciável nos pontos e . Para isso, usamos a definição de diferenciabilidade, que diz que uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear nesse ponto.

Passo 6

A definição de diferenciabilidade envolve verificar se o limite:
onde é o ponto em questão. Vamos aplicar isso para os pontos e .

Passo 7

Primeiro, para o ponto :
Substituindo na expressão do limite:
Então, a função é diferenciável em .

Passo 8

Agora, para o ponto :
Substituindo no limite:
Podemos ver que os termos dominam quando , e esse limite não será zero. Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

As derivadas parciais de são e . A função é diferenciável no ponto e não é diferenciável no ponto .

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