Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em (0,0) e em 1,1.
a) f(x, y) = x * y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função em todo o domínio. Depois, vamos usar a definição de diferenciabilidade para ver se essa função é diferenciável nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a mede como a função muda quando só variamos , mantendo constante.
Então, derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a mostra como a função muda quando só variamos , mantendo constante.
Derivando em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, vamos verificar a diferenciabilidade em . Uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existirem e forem contínuas próximas a esse ponto.
No caso da função :
  • As derivadas parciais e são contínuas em todo o domínio, incluindo .
  • A função também é contínua em .
Portanto, a função é diferenciável em .

Passo 5

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em . Usando o mesmo raciocínio:
  • As derivadas parciais e são contínuas em todo o domínio, incluindo .
  • A função também é contínua em .
Portanto, a função é diferenciável em .

Resposta

As derivadas parciais de são e . Além disso, a função é diferenciável nos pontos e .

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