Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em
e em
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
em todo o domínio. Depois, vamos usar a definição de diferenciabilidade para ver se essa função é diferenciável nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
mede como a função muda quando só variamos
, mantendo
constante.
Então, derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
mostra como a função muda quando só variamos
, mantendo
constante.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, vamos verificar a diferenciabilidade em
. Uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existirem e forem contínuas próximas a esse ponto.
No caso da função
:
- As derivadas parciais
e são contínuas em todo o domínio, incluindo . - A função
também é contínua em .
Portanto, a função é diferenciável em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
. Usando o mesmo raciocínio:
- As derivadas parciais
e são contínuas em todo o domínio, incluindo . - A função
também é contínua em .
Portanto, a função é diferenciável em
.
Resposta
As derivadas parciais de
são
e
. Além disso, a função é diferenciável nos pontos
e
.