15
(a) Encontre os pontos sobre a elipse
, onde
tem seus valores extremos.
(a) Encontre os pontos sobre a elipse
Passo 1
Então, a gente tem uma pergunta onde precisa encontrar os pontos na elipse dada por
onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos. Vamos usar cálculo, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar os extremos de
na elipse
. Queremos achar os pontos
na elipse onde
é maior ou menor possível. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a otimizar uma função sujeita a uma restrição.
Passo 3
A ideia é que o gradiente da função que queremos otimizar (
) seja paralelo ao gradiente da restrição (
), onde
. Isso nos dá as equações:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.
Passo 4
Calculando os gradientes, temos:
Então, as equações ficam:
Passo 5
Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar
,
e
. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Substituindo
da primeira na segunda:
Passo 7
Com os valores de
, vamos encontrar
usando
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos sobre a elipse
onde
tem seus valores extremos são:
Exercícios relacionados
Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto
na superfície dada:
(b) ;
(b)
Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
(b) ;
(b)
34
Uma lâmina tem a forma da região plana delimitada pelas curvas
e
. Sua densidade de massa é constante. Determine:
(a) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos .
Uma lâmina tem a forma da região plana
(a) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos