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(a) Encontre os pontos sobre a elipse , onde tem seus valores extremos.

Passo 1

Então, a gente tem uma pergunta onde precisa encontrar os pontos na elipse dada por onde a função atinge seus valores máximos e mínimos. Vamos usar cálculo, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar os extremos de na elipse . Queremos achar os pontos na elipse onde é maior ou menor possível. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 3

A ideia é que o gradiente da função que queremos otimizar ( ) seja paralelo ao gradiente da restrição ( ), onde . Isso nos dá as equações:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.

Passo 4

Calculando os gradientes, temos:
Então, as equações ficam:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar , e . Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, temos duas equações:
Substituindo da primeira na segunda:

Passo 7

Com os valores de , vamos encontrar usando :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos sobre a elipse onde tem seus valores extremos são:

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