Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto na superfície dada:
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal no ponto na superfície definida por . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e gradientes, que nos ajudam a encontrar vetores normais à superfície. Esses vetores serão essenciais para montar nossas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. A função é . O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
No ponto , substituímos os valores:
Esse vetor é perpendicular à superfície no ponto , ou seja, é o vetor normal.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar essa equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A equação paramétrica de uma reta que passa por e tem direção dada pelo vetor normal é:
Usando o ponto e o vetor normal :

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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