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Uma lâmina tem a forma da região plana delimitada pelas curvas e . Sua densidade de massa é constante. Determine:
(a) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o momento de inércia de uma lâmina com a forma da região delimitada pelas curvas e em relação ao eixo dos . Isso está relacionado ao estudo de cálculos de momento de inércia na física, que envolve integração para calcular como a massa está distribuída em relação a um eixo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região delimitada pelas curvas e . Vamos esboçar essas curvas:
é uma parábola que abre para a direita.
é uma reta vertical.
Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas equações:
Então, a região está entre e .
Passo 3
O momento de inércia em relação ao eixo dos para uma lâmina com densidade constante é dado por:
Como a densidade é constante, podemos fatorar fora da integral. Vamos calcular a integral sobre a região .
Passo 4
Para calcular a integral dupla sobre , podemos expressar em termos de de -2 a 2, e para cada , varia de a 4. Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a expressão para fica:
Passo 6
Explicando a integração: vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 7
Calculando as integrais:
Para :
Para :
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de :
Para subtrair as frações, encontraremos o denominador comum:
Então,
Passo 9
Se a densidade for conhecida, podemos substituir. Caso contrário, o resultado final será em termos de .
Resposta
O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos é: