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Uma lâmina tem a forma da região plana delimitada pelas curvas e . Sua densidade de massa é constante. Determine:
(a) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o momento de inércia de uma lâmina com a forma da região delimitada pelas curvas e em relação ao eixo dos . Isso está relacionado ao estudo de cálculos de momento de inércia na física, que envolve integração para calcular como a massa está distribuída em relação a um eixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região delimitada pelas curvas e . Vamos esboçar essas curvas:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é uma reta vertical.
Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas equações:
Então, a região está entre e .

Passo 3

O momento de inércia em relação ao eixo dos para uma lâmina com densidade constante é dado por:
Como a densidade é constante, podemos fatorar fora da integral. Vamos calcular a integral sobre a região .

Passo 4

Para calcular a integral dupla sobre , podemos expressar em termos de de -2 a 2, e para cada , varia de a 4. Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Explicando a integração: vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:

Passo 7

Calculando as integrais:
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Para subtrair as frações, encontraremos o denominador comum:
Então,

Passo 9

Se a densidade for conhecida, podemos substituir. Caso contrário, o resultado final será em termos de .

Resposta

O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos é:

Exercícios relacionados

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(a) Encontre os pontos sobre a elipse , onde tem seus valores extremos.
Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto na superfície dada:
(b) ;
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Calcule
onde é o retângulo de vértices e .