Encontre a linearização no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo :
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a linearização da função no ponto e também determinar o erro dessa aproximação linear no retângulo onde e .
Para isso, vamos precisar entender o conceito de linearização de funções de duas variáveis e como calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função de duas variáveis. A linearização de uma função no ponto é a aproximação linear da função perto desse ponto. Ela é dada pela fórmula:
Onde:
  • e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando , onde e :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de . Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Podemos simplificar isso:

Passo 7

Portanto, a linearização da função no ponto é:

Passo 8

Agora, vamos calcular o erro dessa aproximação linear no retângulo dado. O erro é a diferença entre o valor real da função e o valor da linearização:
Simplificando:
Esse erro nos mostra quão precisa é a aproximação linear dentro do retângulo especificado.

Resposta

A linearização da função no ponto é:
O erro da aproximação linear no retângulo e é dado por:

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(b) ;
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