Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a linearização
da função
no ponto
e também determinar o erro dessa aproximação linear no retângulo onde
e
.
Para isso, vamos precisar entender o conceito de linearização de funções de duas variáveis e como calcular o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função de duas variáveis. A linearização
de uma função
no ponto
é a aproximação linear da função perto desse ponto. Ela é dada pela fórmula:
Onde:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando
, onde
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Podemos simplificar isso:
Passo 7
Portanto, a linearização da função
no ponto
é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o erro dessa aproximação linear no retângulo dado. O erro
é a diferença entre o valor real da função e o valor da linearização:
Simplificando:
Esse erro nos mostra quão precisa é a aproximação linear dentro do retângulo especificado.
Resposta
A linearização da função
no ponto
é:
O erro da aproximação linear no retângulo
e
é dado por:
Exercícios relacionados
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(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação determinar
como uma
função diferenciável de e
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, temos
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação
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8
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defina
como uma função diferenciável de
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Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto
na superfície dada:
(b) ;
(b)
15
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tem seus valores extremos.
(a) Encontre os pontos sobre a elipse