( 15 pontos) Encontre uma equação para o plano.que seja tangente à superficie z = x * e^(x + y^2) no ponto P = (0, 0, 0)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que descreve a superfície: . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano que toca essa superfície exatamente no ponto sem cortar a superfície.

Passo 3

Para achar a equação do plano tangente, precisamos determinar as derivadas parciais de z em relação a x e y no ponto P. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções dos eixos x e y no ponto dado.

Passo 4

Calculando a função no ponto P: substituímos x = 0 e y = 0 na função :
Então, o ponto está realmente na superfície.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x:
Avaliando no ponto :

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada parcial de z em relação a y:
Avaliando no ponto :

Passo 7

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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