( 15 pontos) Encontre uma equação para o plano.que seja tangente à superficie
no ponto
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que descreve a superfície:
. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano que toca essa superfície exatamente no ponto
sem cortar a superfície.
Passo 3
Para achar a equação do plano tangente, precisamos determinar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções dos eixos
e
no ponto dado.
Passo 4
Calculando a função no ponto
: substituímos
e
na função
:
Então, o ponto
está realmente na superfície.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Avaliando no ponto
:
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Avaliando no ponto
:
Passo 7
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é
.