(15 pontos) Usando a definição de derivadas parciais, calcule e da função , dada.por
Podemos afirmar que é diferenciávelıem ?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
A tarefa é calcular as derivadas parciais e usando a definição de derivadas parciais. Depois, precisamos verificar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto é definida como:
E similarmente para :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular primeiro. Substituindo na definição:
Sabemos que . Agora, vamos calcular :
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular . Usando a definição:
Como antes, . Vamos calcular :
Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais e , vamos verificar se a função é diferenciável em .
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela deve ser linearmente aproximável nesse ponto. Matemáticamente, isso significa que:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos analisar esse limite.
Passo 6
Para , temos:
Então:
Vamos verificar o comportamento desse termo quando se aproxima de .
Podemos usar uma estimativa. Sabemos que (pela desigualdade de Cauchy-Schwarz). Portanto:
À medida que , , o que faz com que o limite não seja zero. Portanto, o limite original não existe ou não é zero.
Resposta
Calculamos que e . No entanto, a função não é diferenciável em .