Calcule a integral onde é a região do primeiro quadrante entre as retas .
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1



Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
onde é a região do primeiro quadrante entre as retas e . A dica é usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos expressões com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas para polares. Em polares, temos:
E o elemento de área vira:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de e . A função é:
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então varia de 0 a . As retas e em polares ficam:
Então, para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 6

Integramos primeiro em relação a :
Aplicando os limites:

Passo 7

Substituímos na integral de :

Passo 8

Integrando e :
Aplicando os limites de a :

Resposta

A integral vale 1.

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(20 pontos) Verifique se a função , dada por e, caso ,
éou não diferenciável na origem.
Calcule
onde
.
Escolha uma opção:




(15 pontos) Usando a definição de derivadas parciais, calcule e da função , dada.por
Podemos afirmar que é diferenciávelıem ?
( 15 pontos) Encontre uma equação para o plano.que seja tangente à superficie no ponto