Calcule a integral integral dupla ^R 1(x^2+y^2)^32 d A onde R é a região do primeiro quadrante entre as retas x+y=1e x+y=2.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
pi4
pi6
pi3
12

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
integral duplaR 1(x^2+y^2)^32 , dA
onde é a região do primeiro quadrante entre as retas e . A dica é usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos expressões com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas para polares. Em polares, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
E o elemento de área dA = r , dr , dtheta vira:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de 1(x^2+y^2)^32 e 1(r^2)^32 = 1r^3 . A função é:
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração. A região r (cos theta + sin theta) = 1 Rightarrow r = 1cos theta + sin theta está no primeiro quadrante, então r (cos theta + sin theta) = 2 Rightarrow r = 2cos theta + sin theta varia de 0 a . As retas e em polares ficam:
Então, para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
integral duplaR 1(x^2 + y^2)^32 , dA = integral0^pi2 integral1cos theta + sin theta^2cos theta + sin theta 1r^3 cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^pi2 integral1cos theta + sin theta^2cos theta + sin theta 1r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Integramos primeiro em relação a integral 1r^2 , dr = -1r + C :
[ -1r ]1cos theta + sin theta^2cos theta + sin theta = -cos theta + sin theta2 + (cos theta + sin theta) = cos theta + sin theta2
Aplicando os limites:

Passo 7

Substituímos na integral de integral0^pi2 cos theta + sin theta2 , dtheta = 12 integral0^pi2 (cos theta + sin theta) , dtheta :

Passo 8

Integrando integral cos theta , dtheta = sin theta + C e integral sin theta , dtheta = -cos theta + C :
12 [ (sin pi2 - cos pi2) - (sin 0 - cos 0) ] = 12 [ (1 - 0) - (0 - 1) ] = 12 times 2 = 1
Aplicando os limites de a :

Resposta

A integral vale 1.

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