Calcule a integral
onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
e
. A dica é usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos expressões com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas para polares. Em polares, temos:
E o elemento de área
vira:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de
e
. A função é:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração. A região
está no primeiro quadrante, então
varia de 0 a
. As retas
e
em polares ficam:
Então, para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 6
Integramos primeiro em relação a
:
Aplicando os limites:
Passo 7
Substituímos na integral de
:
Passo 8
Integrando
e
:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
A integral vale 1.
Exercícios relacionados
(20 pontos) Verifique se a função
, dada por
e, caso
,
éou não diferenciável na origem.
Calcule
onde
.
Escolha uma opção:
onde
Escolha uma opção:
(15 pontos) Usando a definição de derivadas parciais, calcule
e
da função
, dada.por
Podemos afirmar que
é diferenciávelıem
?
( 15 pontos) Encontre uma equação para o plano.que seja tangente à superficie
no ponto