(20 pontos) Verifique se a função , dada por e, caso ,
éou não diferenciável na origem.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma especial na origem e de outra maneira quando . Queremos descobrir se essa função é diferenciável na origem . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites e diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Isso é importante porque se a função não for contínua nesse ponto, ela definitivamente não será diferenciável ali. A função é contínua na origem se o limite de quando se aproxima de for igual a , que é 0.
Vamos calcular o limite:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Como o limite é 0, que é igual a , a função é contínua na origem.

Passo 3

Agora que sabemos que é contínua na origem, vamos verificar se ela é diferenciável ali. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e na origem.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a 0 na origem.

Passo 4

Mesmo com as derivadas parciais existindo, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável na origem. Isso significa que a aproximação linear da função deve ser uma boa aproximação perto da origem. Em termos matemáticos, devemos ter:
Substituindo os valores que encontramos:
Usando novamente coordenadas polares:
O limite então fica:
Esse limite depende do ângulo e não tende a um único valor. Isso significa que o limite não existe de forma única, o que indica que a função não é diferenciável na origem.

Resposta

A função não é diferenciável na origem .

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Calcule
onde
.
Escolha uma opção:




Mude de coordenadas cartesianas para cilíndricas. ;
Calcule a integral onde é a região do primeiro quadrante entre as retas .
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1



(15 pontos) Usando a definição de derivadas parciais, calcule e da função , dada.por
Podemos afirmar que é diferenciávelıem ?