(20 pontos) Verifique se a função
, dada por
e, caso
,
éou não diferenciável na origem.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de forma especial na origem e de outra maneira quando
. Queremos descobrir se essa função é diferenciável na origem
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites e diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua na origem. Isso é importante porque se a função não for contínua nesse ponto, ela definitivamente não será diferenciável ali. A função é contínua na origem se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
, que é 0.
Vamos calcular o limite:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Como o limite é 0, que é igual a
, a função
é contínua na origem.
Passo 3
Agora que sabemos que
é contínua na origem, vamos verificar se ela é diferenciável ali. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
na origem.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Então, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a 0 na origem.
Passo 4
Mesmo com as derivadas parciais existindo, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável na origem. Isso significa que a aproximação linear da função deve ser uma boa aproximação perto da origem. Em termos matemáticos, devemos ter:
Substituindo os valores que encontramos:
Usando novamente coordenadas polares:
O limite então fica:
Esse limite depende do ângulo
e não tende a um único valor. Isso significa que o limite não existe de forma única, o que indica que a função não é diferenciável na origem.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
.
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onde
.
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onde
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;
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onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
(15 pontos) Usando a definição de derivadas parciais, calcule
e
da função
, dada.por
Podemos afirmar que
é diferenciávelıem
?