(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória X que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em n inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de cidadãos que concordam com a criação de um espaço verde, em um grupo de pessoas entrevistadas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que é adequada quando temos uma sequência de ensaios independentes, cada um com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” é um cidadão concordar com a criação do espaço verde.

Passo 2

A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher sucessos em ensaios.
  • é a probabilidade de sucesso em um único ensaio.
  • é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b), que pede para calcular diferentes probabilidades usando a função que definimos.

i) Nenhum concorda.

Queremos P(X = 0) = binomn0 p^0 (1-p)^n = 1 times 1 times (1-p)^n = (1-p)^n . Aplicando a fórmula:
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

ii) Pelo menos 2 concordam.

Queremos P(X = 1) = binomn1 p^1 (1-p)^n-1 = n p (1-p)^n-1 . Isso pode ser calculado como:
P(X >= 2) = 1 - [(1-p)^n + n p (1-p)^n-1]
Calculamos P(7 <= X <= 9) = P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) :
P(X=k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Então:

iii) Entre 7 a 9 concordam.

Queremos . Isso é a soma das probabilidades de exatamente 7, 8 e 9 concordarem:
Cada termo é calculado usando a fórmula da binomial:
Então calculamos , e individualmente e somamos os resultados.

Passo 4

No item ©, precisamos calcular o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam. Para uma distribuição binomial, as fórmulas são:
  • Valor Esperado ( E[X] = n p ):
Var(X) = n p (1-p)
  • Variância ( ):

Passo 5

Finalmente, no item (d), queremos encontrar o quantil 0,2 do número de cidadãos. O quantil 0,2 é o valor de P(X <= k) >= 0,2 tal que 20% das observações estão abaixo ou igual a ele. Para encontrar isso na distribuição binomial, precisamos identificar o menor valor de que satisfaz:
Isso pode ser feito calculando acumulativamente as probabilidades , , …, até que a soma seja pelo menos 0,2.

Resposta

A função de probabilidade da variável aleatória P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k é:

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