(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de cidadãos que concordam com a criação de um espaço verde, em um grupo de pessoas entrevistadas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que é adequada quando temos uma sequência de ensaios independentes, cada um com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” é um cidadão concordar com a criação do espaço verde.

Passo 2

A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher sucessos em ensaios.
  • é a probabilidade de sucesso em um único ensaio.
  • é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b), que pede para calcular diferentes probabilidades usando a função que definimos.

i) Nenhum concorda.

Queremos . Aplicando a fórmula:

ii) Pelo menos 2 concordam.

Queremos . Isso pode ser calculado como:
Calculamos :
Então:

iii) Entre 7 a 9 concordam.

Queremos . Isso é a soma das probabilidades de exatamente 7, 8 e 9 concordarem:
Cada termo é calculado usando a fórmula da binomial:
Então calculamos , e individualmente e somamos os resultados.

Passo 4

No item ©, precisamos calcular o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam. Para uma distribuição binomial, as fórmulas são:
  • Valor Esperado ( ):
  • Variância ( ):

Passo 5

Finalmente, no item (d), queremos encontrar o quantil 0,2 do número de cidadãos. O quantil 0,2 é o valor de tal que 20% das observações estão abaixo ou igual a ele. Para encontrar isso na distribuição binomial, precisamos identificar o menor valor de que satisfaz:
Isso pode ser feito calculando acumulativamente as probabilidades , , …, até que a soma seja pelo menos 0,2.

Resposta

A função de probabilidade da variável aleatória é:

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0 1 2 3
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(a) Determine o valor de .
(b) Calcule .
© Qual a probabilidade de um cidadão fazer pelo menos 2 compras por semana?
(d) Calcule a
(e) Em média quantas compras são feitas por cidadão, por semana?
(f) Determine .
(g) Determine e .
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