(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em
inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa o número de cidadãos que concordam com a criação de um espaço verde, em um grupo de
pessoas entrevistadas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que é adequada quando temos uma sequência de ensaios independentes, cada um com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” é um cidadão concordar com a criação do espaço verde.
Passo 2
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher sucessos em ensaios. -
é a probabilidade de sucesso em um único ensaio. -
é a probabilidade de fracasso.
Passo 3
Agora, vamos para o item (b), que pede para calcular diferentes probabilidades usando a função que definimos.
i) Nenhum concorda.
Queremos
. Aplicando a fórmula:
ii) Pelo menos 2 concordam.
Queremos
. Isso pode ser calculado como:
Calculamos
:
Então:
iii) Entre 7 a 9 concordam.
Queremos
. Isso é a soma das probabilidades de exatamente 7, 8 e 9 concordarem:
Cada termo é calculado usando a fórmula da binomial:
Então calculamos
,
e
individualmente e somamos os resultados.
Passo 4
No item ©, precisamos calcular o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam. Para uma distribuição binomial, as fórmulas são:
- Valor Esperado (
):
- Variância (
):
Passo 5
Finalmente, no item (d), queremos encontrar o quantil 0,2 do número de cidadãos. O quantil 0,2 é o valor de
tal que 20% das observações estão abaixo ou igual a ele. Para encontrar isso na distribuição binomial, precisamos identificar o menor valor de
que satisfaz:
Isso pode ser feito calculando acumulativamente as probabilidades
,
, …, até que a soma seja pelo menos 0,2.
Resposta
A função de probabilidade da variável aleatória
é: