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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano x y de tal modo que a temperatura T(x, y) em um ponto P = (x, y) é inversamente propocional à distância de P à origem. Sabendo que a temperatura em P0 = (3, 4) é 100 graus C, determine a taxa de variação de T em P0 na direção do vetor i + j. A partir de P0, em que direção T cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma chapa metálica aquecida no plano xy, e a temperatura T(x, y) em qualquer ponto P = (x, y) é inversamente proporcional à distância de P até a origem. Isso significa que . Sabemos que em a temperatura é 100 graus C. Precisamos:
  1. Encontrar a taxa de variação de T em na direção do vetor i + j.
  2. Descobrir em qual direção T cresce mais rapidamente a partir de .
  3. Identificar em que direção a taxa de variação é nula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função temperatura T(x, y) de forma matemática. Como T é inversamente proporcional à distância até a origem, temos:
Onde k é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que em , a temperatura . Vamos usar isso para encontrar k:
Portanto, a função temperatura é:

Passo 4

Agora, para encontrar a taxa de variação de T na direção do vetor i + j em , precisamos calcular a derivada direcional. A derivada direcional de T na direção de um vetor é dada por:
Primeiro, vamos calcular o gradiente .

Passo 5

O gradiente de T é o vetor das derivadas parciais de T em relação a x e y:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 6

Agora, avaliamos o gradiente em :

Passo 7

O vetor na direção de i + j é 1,1. Para usá-lo na derivada direcional, precisamos primeiro normalizá-lo:

Passo 8

Agora, calculamos a derivada direcional:

Passo 9

Para encontrar a direção em que T cresce mais rapidamente, lembramos que o gradiente aponta na direção de máximo aumento da função. No nosso caso, o gradiente em é . Portanto, a direção de máximo aumento é na direção desse vetor.

Passo 10

A direção em que a taxa de variação é nula é perpendicular ao gradiente. Para encontrar um vetor perpendicular a , podemos trocar os componentes e inverter um dos sinais, por exemplo, .

Resposta

A taxa de variação de T em P0 na direção de i + j é por unidade de comprimento. A partir de P0, a temperatura T cresce mais rapidamente na direção de . A taxa de variação de T é nula na direção perpendicular a , por exemplo, na direção de .

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d) f(x, y) = { x*y^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
g) Calcule D_v f(0,0), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).
Justifique que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
f(x, y)= (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x^2 + y^3 - 3xy - 5x