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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano
de tal modo que a temperatura
em um ponto
é inversamente propocional à distância de
à origem. Sabendo que a temperatura em
é
, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. A partir de
, em que direção
cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?
Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma chapa metálica aquecida no plano
, e a temperatura
em qualquer ponto
é inversamente proporcional à distância de
até a origem. Isso significa que
. Sabemos que em
a temperatura é
. Precisamos:
- Encontrar a taxa de variação de
em na direção do vetor . - Descobrir em qual direção
cresce mais rapidamente a partir de . - Identificar em que direção a taxa de variação é nula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função temperatura
de forma matemática. Como
é inversamente proporcional à distância até a origem, temos:
Onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos que em
, a temperatura
. Vamos usar isso para encontrar
:
Portanto, a função temperatura é:
Passo 4
Agora, para encontrar a taxa de variação de
na direção do vetor
em
, precisamos calcular a derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada por:
Primeiro, vamos calcular o gradiente
.
Passo 5
O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 6
Agora, avaliamos o gradiente em
:
Passo 7
O vetor na direção de
é
. Para usá-lo na derivada direcional, precisamos primeiro normalizá-lo:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada direcional:
Passo 9
Para encontrar a direção em que
cresce mais rapidamente, lembramos que o gradiente aponta na direção de máximo aumento da função. No nosso caso, o gradiente em
é
. Portanto, a direção de máximo aumento é na direção desse vetor.
Passo 10
A direção em que a taxa de variação é nula é perpendicular ao gradiente. Para encontrar um vetor perpendicular a
, podemos trocar os componentes e inverter um dos sinais, por exemplo,
.
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção de
é
por unidade de comprimento. A partir de
, a temperatura
cresce mais rapidamente na direção de
. A taxa de variação de
é nula na direção perpendicular a
, por exemplo, na direção de
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d)
(d)
(!!) Considere a função:
g) Calcule
, sendo
.
Justifique que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: