Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos estacionários da função
e classificá-los. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para achar esses pontos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
.
A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como uma constante:
Já a derivada parcial em relação a
trata
como constante:
Passo 3
Para encontrar os pontos estacionários, precisamos igualar essas derivadas a zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções para
são:
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos estacionários são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos das derivadas segundas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto.
Para o ponto
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos estacionários da função
são:
-
— mínimo local -
— ponto de sela
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Justifique que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano de tal modo que a temperatura
em um ponto
é inversamente propocional à distância de
à origem. Sabendo que a temperatura em
é
, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. A partir de
, em que direção
cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?
Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
Encontre a aproximação linear
das funções numa vizinhança do ponto pedido:
em
.