(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
g) Calcule D_v f(0,0), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes, dependendo se o ponto é ou não. A pergunta é para calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como aplicá-la usando o limite. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você está em um ponto e quer saber como a função muda na direção de um vetor . A derivada direcional, , mede exatamente essa taxa de variação.
A fórmula para a derivada direcional é:
No nosso caso, queremos calcular , então e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Primeiro, vamos substituir e por 0, e e pelos valores do vetor :
Simplificando os termos dentro da função:
Agora, precisamos calcular . Como para , usamos a primeira definição da função:
Substituindo e :
Vamos simplificar isso!

Passo 4

Vamos simplificar a expressão passo a passo:
Primeiro, note que .
Agora, calculemos os demais termos:
  1. Numerador:
Calculando :
Multiplicando por :
  1. Denominador:
Então, a função fica:
Agora, voltamos à fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
  1. f(x) = e^(raiz(x)) * ln(raiz(x)), x > 0
  2. f(x) = ln(x * raiz(x^2 + 1)), x > 0
  3. f(x) = (e^x)^x, x em R
  4. f(x) = (x^x)^x, x > 0
  5. f(x) = (sen(x))^(arcsen(x)), x in (0,1)
  6. f(x) = ln(raiz(x + 1) / (x - 1)^3), x > 1
Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
f: R -> R e g: R -> R são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de f(g).
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d) f(x, y) = { x*y^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano x y de tal modo que a temperatura T(x, y) em um ponto P = (x, y) é inversamente propocional à distância de P à origem. Sabendo que a temperatura em P0 = (3, 4) é 100 graus C, determine a taxa de variação de T em P0 na direção do vetor i + j. A partir de P0, em que direção T cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?