(!!) Considere a função:
g) Calcule
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas formas diferentes, dependendo se o ponto
é
ou não. A pergunta é para calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como aplicá-la usando o limite. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você está em um ponto
e quer saber como a função muda na direção de um vetor
. A derivada direcional,
, mede exatamente essa taxa de variação.
A fórmula para a derivada direcional é:
No nosso caso, queremos calcular
, então
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Primeiro, vamos substituir
e
por 0, e
e
pelos valores do vetor
:
Simplificando os termos dentro da função:
Agora, precisamos calcular
. Como
para
, usamos a primeira definição da função:
Substituindo
e
:
Vamos simplificar isso!
Passo 4
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
Primeiro, note que
.
Agora, calculemos os demais termos:
- Numerador:
Calculando
:
Multiplicando por
:
- Denominador:
Então, a função fica:
Agora, voltamos à fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
e
são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de
.
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d)
(d)
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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano de tal modo que a temperatura
em um ponto
é inversamente propocional à distância de
à origem. Sabendo que a temperatura em
é
, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. A partir de
, em que direção
cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?
Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano