Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d) f(x, y) = { x*y^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é diferenciável na origem, ou seja, em . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como verificar isso usando limites e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser diferenciável na origem. Uma função é diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso quer dizer que existem derivadas parciais em e que o erro na aproximação tende a zero mais rápido que a distância até .

Passo 3

Vamos começar verificando se a função é contínua na origem. Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a , que no caso é 0.

Passo 4

O limite que precisamos calcular é:
Vamos tentar avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, a função é contínua na origem.

Passo 5

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Substituindo, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caminho onde . Substituindo, temos:
Novamente, o limite é 0.

Passo 7

Vamos tentar um caminho mais geral, como , onde é uma constante. Substituindo, temos:
Quando tende a 0, esse limite também é 0.

Passo 8

Como o limite é 0 ao longo de vários caminhos diferentes, podemos concluir que:
Portanto, a função é contínua na origem.

Passo 9

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de em . As derivadas parciais em são dadas por:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 na origem.

Passo 10

Com as derivadas parciais encontradas, agora precisamos verificar se a função é diferenciável. Para isso, usamos a condição de diferenciabilidade:
Substituindo os valores que temos:

Passo 11

Vamos avaliar esse limite. Uma maneira eficiente é usar coordenadas polares, onde e . Substituindo, temos:
Note que o limite agora depende de , o que significa que ele pode assumir diferentes valores dependendo da direção de aproximação.

Passo 12

Como o limite depende de e pode variar entre diferentes valores, o limite geral não existe. Isso implica que a condição de diferenciabilidade não é satisfeita.

Resposta

A função não é diferenciável na origem .

Exercícios relacionados

(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
g) Calcule D_v f(0,0), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).
Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
  1. f(x) = e^(raiz(x)) * ln(raiz(x)), x > 0
  2. f(x) = ln(x * raiz(x^2 + 1)), x > 0
  3. f(x) = (e^x)^x, x em R
  4. f(x) = (x^x)^x, x > 0
  5. f(x) = (sen(x))^(arcsen(x)), x in (0,1)
  6. f(x) = ln(raiz(x + 1) / (x - 1)^3), x > 1
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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano x y de tal modo que a temperatura T(x, y) em um ponto P = (x, y) é inversamente propocional à distância de P à origem. Sabendo que a temperatura em P0 = (3, 4) é 100 graus C, determine a taxa de variação de T em P0 na direção do vetor i + j. A partir de P0, em que direção T cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?
Justifique que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
f(x, y)= (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)