Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é diferenciável na origem, ou seja, em
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como verificar isso usando limites e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser diferenciável na origem. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso quer dizer que existem derivadas parciais em
e que o erro na aproximação tende a zero mais rápido que a distância até
.
Passo 3
Vamos começar verificando se a função
é contínua na origem. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
, que no caso é 0.
Passo 4
O limite que precisamos calcular é:
Vamos tentar avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, a função é contínua na origem.
Passo 5
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo, temos:
Novamente, o limite é 0.
Passo 7
Vamos tentar um caminho mais geral, como
, onde
é uma constante. Substituindo, temos:
Quando
tende a 0, esse limite também é 0.
Passo 8
Como o limite é 0 ao longo de vários caminhos diferentes, podemos concluir que:
Portanto, a função
é contínua na origem.
Passo 9
Agora, vamos verificar as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais em
são dadas por:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 na origem.
Passo 10
Com as derivadas parciais encontradas, agora precisamos verificar se a função é diferenciável. Para isso, usamos a condição de diferenciabilidade:
Substituindo os valores que temos:
Passo 11
Vamos avaliar esse limite. Uma maneira eficiente é usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo, temos:
Note que o limite agora depende de
, o que significa que ele pode assumir diferentes valores dependendo da direção de aproximação.
Passo 12
Como o limite depende de
e pode variar entre diferentes valores, o limite geral não existe. Isso implica que a condição de diferenciabilidade não é satisfeita.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
.
Exercícios relacionados
(!!) Considere a função:
g) Calcule
, sendo
.
Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
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Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano de tal modo que a temperatura
em um ponto
é inversamente propocional à distância de
à origem. Sabendo que a temperatura em
é
, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. A partir de
, em que direção
cresce mais rapidamente? Em que direção a taxa de variação é nula?
Uma chapa metálica aquecida está situada em um plano
Justifique que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo: