1. Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m . Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a probabilidade de que na produção de 1.000 m :

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre defeitos na fabricação de tecido. A gente sabe que, em média, aparece 1 defeito a cada 250 metros de tecido produzido. O assunto principal aqui é a distribuição de Poisson, que é ótima para contar quantos eventos (como defeitos) acontecem em um certo espaço ou tempo, especialmente quando esses eventos são raros e acontecem de forma aleatória. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de um certo número de defeitos em 1.000 metros de produção.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o valor médio (λ) de defeitos que esperamos em 1.000 metros. Sabemos que há 1 defeito a cada 250 metros, então:
Isso significa que, em média, esperamos 4 defeitos em 1.000 metros.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente defeitos ocorrerem. A fórmula é:
Onde:
  • é o valor médio (nós já calculamos, que é 4).
  • é o número de defeitos que queremos calcular a probabilidade.
  • é a base dos logaritmos naturais (~2.71828).
  • é o fatorial de .

Passo 4

Vamos supor que a pergunta quer saber, por exemplo, a probabilidade de exatamente 3 defeitos ocorrerem em 1.000 metros. Substituindo os valores na fórmula:
Calculando :
Então, a probabilidade de exatamente 3 defeitos ocorrerem em 1.000 metros é aproximadamente 19,52%.

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 defeitos ocorrerem em 1.000 metros de produção é aproximadamente 19,52%.

Exercícios relacionados

  1. Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado?
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
  1. O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com . Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo?
  1. Seja . Usando aproximação pela Poisson, calcular: