1. O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com . Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem que calcular a probabilidade de que mais de 4 partículas gama sejam emitidas por segundo por uma substância radioativa. Sabemos que o número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição de Poisson e calcular a probabilidade desejada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos,
  • é a média de eventos que acontecem no intervalo,
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718),
  • é o fatorial de .

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o número de partículas seja maior que 4, ou seja, . Essa probabilidade pode ser calculada subtraindo-se a probabilidade de ocorrerem 0, 1, 2, 3 ou 4 partículas de 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 partículas:
Usando a fórmula de Poisson para cada valor de :

Passo 5

Somando todas essas probabilidades:
Calculando :

Passo 6

Agora, voltando à probabilidade que queremos:

Resposta

A probabilidade de o instrumento se tornar inoperante em qualquer segundo é de aproximadamente 18,5%.

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