1. O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com lambda=3,0. Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem que calcular a probabilidade de que mais de 4 partículas gama sejam emitidas por segundo por uma substância radioativa. Sabemos que o número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 3,0. Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição de Poisson e calcular a probabilidade desejada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • P(k; lambda) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
  • lambda é a média de eventos que acontecem no intervalo,
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718),
  • k! é o fatorial de k.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o número de partículas seja maior que 4, ou seja, P(X > 4). Essa probabilidade pode ser calculada subtraindo-se a probabilidade de ocorrerem 0, 1, 2, 3 ou 4 partículas de 1:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4)

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X <= 4), que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 partículas:
P(X <= 4) = P(0; 3) + P(1; 3) + P(2; 3) + P(3; 3) + P(4; 3)
Usando a fórmula de Poisson para cada valor de k:
P(0; 3) = e^-3 3^00! = e^-3 P(1; 3) = e^-3 3^11! = 3e^-3 P(2; 3) = e^-3 3^22! = 9e^-32 P(3; 3) = e^-3 3^33! = 27e^-36 = 4.5e^-3 P(4; 3) = e^-3 3^44! = 81e^-324 = 3.375e^-3

Passo 5

Somando todas essas probabilidades:
P(X <= 4) = e^-3 + 3e^-3 + 9e^-32 + 4.5e^-3 + 3.375e^-3 = e^-3 (1 + 3 + 4.5 + 4.5 + 3.375) = e^-3 times 16.375
Calculando e^-3 approx 0,0498:
P(X <= 4) approx 0,0498 times 16.375 approx 0,815

Passo 6

Agora, voltando à probabilidade que queremos:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4) P(X > 4) = 1 - 0,815 = 0,185

Resposta

A probabilidade de o instrumento se tornar inoperante em qualquer segundo é de aproximadamente 18,5%.

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