- O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com
. Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem que calcular a probabilidade de que mais de 4 partículas gama sejam emitidas por segundo por uma substância radioativa. Sabemos que o número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição de Poisson e calcular a probabilidade desejada passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos, -
é a média de eventos que acontecem no intervalo, -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718), -
é o fatorial de .
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de que o número de partículas seja maior que 4, ou seja,
. Essa probabilidade pode ser calculada subtraindo-se a probabilidade de ocorrerem 0, 1, 2, 3 ou 4 partículas de 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 partículas:
Usando a fórmula de Poisson para cada valor de
:
Passo 5
Somando todas essas probabilidades:
Calculando
:
Passo 6
Agora, voltando à probabilidade que queremos:
Resposta
A probabilidade de o instrumento se tornar inoperante em qualquer segundo é de aproximadamente 18,5%.
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- Seja
. Usando aproximação pela Poisson, calcular:
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