1. Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para calcular a probabilidade de, em uma amostra de 60 adultos, 40 serem a favor de um projeto, assumindo que na verdade as opiniões pró e contra são igualmente divididas (ou seja, cada uma tem 50% de chance). Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de um número específico de sucessos em uma sequência de experimentos independentes, onde cada experimento tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). No nosso caso:
  • Número de experimentos (n): 60 adultos entrevistados.
  • Probabilidade de sucesso §: 0,5 (já que as opiniões são igualmente divididas).
  • Número de sucessos desejados (k): 40 adultos a favor.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de obter exatamente sucessos.
  • é a probabilidade de obter fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial ( binom6040 = 60!40! cdot (60 - 40)! = 60!40! cdot 20! ):
P(X = 40) = binom6040 cdot (0.5)^40 cdot (0.5)^20
  1. Probabilidade de 40 sucessos ( P(X = 40) = binom6040 cdot (0.5)^60 ).
  2. Probabilidade de 20 fracassos ( ).
Agora, multiplicamos tudo junto:

Resposta

A probabilidade de, em uma amostra de 60 adultos com opiniões igualmente divididas, exatamente 40 serem a favor do projeto é aproximadamente 0,0002 ou 0,02%.

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