1. A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados: .
    (a) Calcule média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação pra esse conjunto de dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de estatística juntos! O exercício pede para calcular várias medidas descritivas — como média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação — para o conjunto de dados: . Vamos precisar entender cada uma dessas medidas e como calculá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média, que é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. A média nos dá uma noção do valor “típico” do conjunto.
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Passo 3

Agora, vamos para a mediana, que é o valor do meio quando os dados estão ordenados. Nosso conjunto já está ordenado: . Como há 7 valores, a mediana é o 4º valor.

Passo 4

A moda é o valor que aparece com mais frequência no conjunto de dados. Observando nossos números: 10, 12, 13, 13, 13, 14, 16, vemos que o 13 aparece três vezes.

Passo 5

A amplitude ou intervalo é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Aqui, o menor valor é 10 e o maior é 16.

Passo 6

Para calcular a variância, primeiro precisamos encontrar a média (já vimos que é 13). A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Calculamos a diferença de cada valor para a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de valores.
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Passo 7

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e também indica o quanto os valores estão espalhados em torno da média, mas na mesma unidade dos dados.
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Passo 8

Por fim, o coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão, que relaciona o desvio-padrão com a média. Ele é calculado dividindo o desvio-padrão pela média e multiplicando por 100 para obter uma porcentagem.
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Resposta

Média = 13; Mediana = 13; Moda = 13; Amplitude = 6; Variância ≈ 2,857; Desvio-padrão ≈ 1,69; Coeficiente de variação ≈ 13,00 %.

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A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de porte pequeno , médio e grande , dos setores comercial © e industrial (I).
Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Meses 8 9 4 5 3 6 8 6 6 8 5 5 6 4 4
Setor C C I I I C C I I C C I C I I
Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G
(b) Monte uma tabela de frequências para cada uma das variáveis. As tabelas devem conter as frequências absolutas simples e relativas.
  1. (OPCIONAL) Suponha que tenhamos uma amostra e tenhamos calculado e para esta amostra. Agora, uma -ésima observação se torna disponível. Faça e serem a média e a variância da amostra, respectivamente, usando todas as observações.
    (b) Mostre que .
  1. (OPCIONAL) Prove que o desvio-padrão amostral pode ser calculado com a seguinte fórmula alternativa (mais fácil de ser utilizada!):
Se . Calcular: .