- (OPCIONAL) Suponha que tenhamos uma amostra
e tenhamos calculado
e
para esta amostra. Agora, uma
-ésima observação se torna disponível. Faça
e
serem a média e a variância da amostra, respectivamente, usando todas as
observações.
(b) Mostre que
.
(b) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de
observações:
. Calculamos a média
e a variância
dessa amostra. Agora, recebemos uma nova observação
e queremos calcular a nova média
e a nova variância
usando todas as
observações. Para resolver isso, vamos precisar entender como atualizar a média e a variância quando adicionamos um novo dado.
Passo 2
Vamos começar calculando a nova média
. A média de uma amostra é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Com a nova observação, a soma total se torna
e o número de observações passa para
. Então:
Passo 3
Agora, vamos atualizar a variância. A variância mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para
observações é:
Queremos expressar
em termos de
e a nova observação. Vamos multiplicar ambos os lados da equação da nova variância por
:
Passo 4
Expandindo a soma, temos:
Sabemos que
, então podemos reescrever
como
.
Passo 5
Depois de desenvolver os termos e simplificar, chegamos à relação desejada:
Resposta
Assim, demonstramos que: