- (OPCIONAL) Suponha que tenhamos uma amostra
e tenhamos calculado
e
para esta amostra. Agora, uma
-ésima observação se torna disponível. Faça
e
serem a média e a variância da amostra, respectivamente, usando todas as
observações.
(b) Mostre que
.
(b) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de
observações:
. Calculamos a média
e a variância
dessa amostra. Agora, recebemos uma nova observação
e queremos calcular a nova média
e a nova variância
usando todas as
observações. Para resolver isso, vamos precisar entender como atualizar a média e a variância quando adicionamos um novo dado.
Passo 2
Vamos começar calculando a nova média
. A média de uma amostra é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Com a nova observação, a soma total se torna
e o número de observações passa para
. Então:
Passo 3
Agora, vamos atualizar a variância. A variância mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para
observações é:
Queremos expressar
em termos de
e a nova observação. Vamos multiplicar ambos os lados da equação da nova variância por
:
Passo 4
Expandindo a soma, temos:
Sabemos que
, então podemos reescrever
como
.
Passo 5
Depois de desenvolver os termos e simplificar, chegamos à relação desejada:
Resposta
Assim, demonstramos que:
Exercícios relacionados
A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados:
.
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
Considere as seguintes alturas dos cascos ( em cm ) de uma amostra de 48 tartarugas pintadas ( 24 machos e 24 fêmeas), onde
representa a frequência absoluta simples,
representa a frequência absoluta acumulada e
representa a frequência relativa simples em porcentagem (use uma casa decimal quando necessário).
Machos | |||
---|---|---|---|
Altura |
|
|
|
35 | 3 | ||
37 | 2 | 5 | |
38 | 2 | 7 | 8,3 |
39 | 3 | ||
40 | 4 | ||
41 | 3 | ||
42 | 2 | ||
44 | 2 | ||
45 | 2 | ||
50 | 1 | 24 | 4,2 |
Total | 24 | - | 100 |
Fêmeas
Altura |
|
|
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
42 | 1 | 1 | 4,2 | ||||||
44 | 2 | 3 | 8,3 | ||||||
46 | 3 | 6 | |||||||
48 | 3 | ||||||||
51 | 4 | 13 | |||||||
53 | 17 | ||||||||
56 | 2 | 19 | |||||||
59 | 2 | 21 | |||||||
61 | 2 | 23 | |||||||
65 | 1 | 24 | |||||||
Total | 24 | - | 100 | ||||||
(b) Complete a seguinte tabela de estatísticas descritivas para a variável | Grupo | Média | Mediana | Desvio-padrão | Min |
|
|
|
Max |
:—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |
Machos | 40 | 35 | 50 | ||||||
Fêmeas | 6,1 | 56 | 65 |
A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de porte pequeno
, médio
e grande
, dos setores comercial © e industrial (I).
Empresa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Meses | 8 | 9 | 4 | 5 | 3 | 6 | 8 | 6 | 6 | 8 | 5 | 5 | 6 | 4 | 4 |
Setor | C | C | I | I | I | C | C | I | I | C | C | I | C | I | I |
Tamanho | G | M | G | M | M | P | G | M | P | M | P | P | M | M | G |
(b) Monte uma tabela de frequências para cada uma das variáveis. As tabelas devem conter as frequências absolutas simples e relativas.
- A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados:
.
(a) Calcule média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação pra esse conjunto de dados.