1. (OPCIONAL) Suponha que tenhamos uma amostra e tenhamos calculado e para esta amostra. Agora, uma -ésima observação se torna disponível. Faça e serem a média e a variância da amostra, respectivamente, usando todas as observações.
    (b) Mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de observações: . Calculamos a média e a variância dessa amostra. Agora, recebemos uma nova observação e queremos calcular a nova média e a nova variância usando todas as observações. Para resolver isso, vamos precisar entender como atualizar a média e a variância quando adicionamos um novo dado.

Passo 2

Vamos começar calculando a nova média . A média de uma amostra é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Com a nova observação, a soma total se torna e o número de observações passa para . Então:

Passo 3

Agora, vamos atualizar a variância. A variância mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para observações é:
Queremos expressar em termos de e a nova observação. Vamos multiplicar ambos os lados da equação da nova variância por :

Passo 4

Expandindo a soma, temos:
Sabemos que , então podemos reescrever como .

Passo 5

Depois de desenvolver os termos e simplificar, chegamos à relação desejada:

Resposta

Assim, demonstramos que:

Exercícios relacionados

A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados: .
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
Considere as seguintes alturas dos cascos ( em cm ) de uma amostra de 48 tartarugas pintadas ( 24 machos e 24 fêmeas), onde representa a frequência absoluta simples, representa a frequência absoluta acumulada e representa a frequência relativa simples em porcentagem (use uma casa decimal quando necessário).
Machos
Altura
35 3
37 2 5
38 2 7 8,3
39 3
40 4
41 3
42 2
44 2
45 2
50 1 24 4,2
Total 24 - 100
Fêmeas
Altura
42 1 1 4,2
44 2 3 8,3
46 3 6
48 3
51 4 13
53 17
56 2 19
59 2 21
61 2 23
65 1 24
Total 24 - 100
(b) Complete a seguinte tabela de estatísticas descritivas para a variável Grupo Média Mediana Desvio-padrão Min Max
:—: :—: :—: :—: :—: :—: :—: :—: :—:
Machos 40 35 50
Fêmeas 6,1 56 65
A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de porte pequeno , médio e grande , dos setores comercial © e industrial (I).
Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Meses 8 9 4 5 3 6 8 6 6 8 5 5 6 4 4
Setor C C I I I C C I I C C I C I I
Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G
(b) Monte uma tabela de frequências para cada uma das variáveis. As tabelas devem conter as frequências absolutas simples e relativas.
  1. A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados: .
    (a) Calcule média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação pra esse conjunto de dados.