1. (OPCIONAL) Suponha que tenhamos uma amostra x1, x2, ldots, xn e tenhamos calculado barxn e sn^2 para esta amostra. Agora, uma (n+1)-ésima observação se torna disponível. Faça barxn+1 e sn+1^2 serem a média e a variância da amostra, respectivamente, usando todas as n+1 observações.
    (b) Mostre que n sn+1^2=(n-1) sn^2+nn+1(xn+1-barxn)^2.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de n observações: x1, x2, ldots, xn. Calculamos a média barxn e a variância sn^2 dessa amostra. Agora, recebemos uma nova observação xn+1 e queremos calcular a nova média barxn+1 e a nova variância sn+1^2 usando todas as n+1 observações. Para resolver isso, vamos precisar entender como atualizar a média e a variância quando adicionamos um novo dado.

Passo 2

Vamos começar calculando a nova média barxn+1. A média de uma amostra é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Com a nova observação, a soma total se torna sumi=1^n xi + xn+1 e o número de observações passa para n+1. Então:
barxn+1 = sumi=1^n xi + xn+1n+1 = nbarxn + xn+1n+1

Passo 3

Agora, vamos atualizar a variância. A variância mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para n observações é:
sn^2 = 1n-1 sumi=1^n (xi - barxn)^2
Queremos expressar n sn+1^2 em termos de (n-1)sn^2 e a nova observação. Vamos multiplicar ambos os lados da equação da nova variância por n:
n sn+1^2 = nn sumi=1^n+1 (xi - barxn+1)^2 = sumi=1^n+1 (xi - barxn+1)^2

Passo 4

Expandindo a soma, temos:
sumi=1^n+1 (xi - barxn+1)^2 = sumi=1^n (xi - barxn+1)^2 + (xn+1 - barxn+1)^2
Sabemos que barxn+1 = nbarxn + xn+1n+1, então podemos reescrever (xi - barxn+1) como (xi - barxn + barxn - barxn+1).

Passo 5

Depois de desenvolver os termos e simplificar, chegamos à relação desejada:
n sn+1^2 = (n-1) sn^2 + nn+1 ( xn+1 - barxn )^2

Resposta

Assim, demonstramos que:
n sn+1^2 = (n-1) sn^2 + nn+1 ( xn+1 - barxn )^2

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