Se X sim N(50,25). Calcular: P[|X-50|<8].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre uma distribuição normal. O enunciado nos dá que segue uma distribuição normal com média 50 e variância 25, ou seja, . A gente precisa calcular a probabilidade de estar dentro de 8 unidades da média, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e transformar o problema em algo que a gente consiga calcular usando a tabela da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão -8 < X - 50 < 8 de uma forma mais simples. Esse valor absoluto quer dizer que 42 < X < 58 está a menos de 8 unidades da média 50. Então, podemos dividir isso em duas desigualdades:
Agora, vamos somar 50 em todas as partes para isolar :
Então, a probabilidade que queremos calcular é .

Passo 3

Sabemos que sigma = raiz25 = 5 segue uma distribuição normal Z = X - musigma onde e . Primeiro, precisamos encontrar o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância:
Com isso, podemos padronizar a variável para transformar em uma distribuição normal padrão , que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:

Passo 4

Vamos aplicar a padronização nas duas extremidades da desigualdade Z = 42 - 505 = -85 = -1,6 :
Para Z = 58 - 505 = 85 = 1,6 :
P(-1,6 < Z < 1,6)
Para :
Então, a probabilidade que queremos calcular agora é:

Passo 5

Agora, vamos utilizar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a P(Z < 1,6) approx 0,9452 e P(Z < -1,6) approx 0,0548 .
Consultando a tabela:

Passo 6

Para encontrar P(-1,6 < Z < 1,6) = P(Z < 1,6) - P(Z < -1,6) = 0,9452 - 0,0548 = 0,8904 , subtraímos as duas probabilidades:

Resposta

A probabilidade de estar dentro de 8 unidades da média é aproximadamente 89,04%.

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