1. (OPCIONAL) Prove que o desvio-padrão amostral pode ser calculado com a seguinte fórmula alternativa (mais fácil de ser utilizada!):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que a fórmula do desvio-padrão amostral pode ser calculada de uma maneira alternativa, que é mais fácil de usar. Isso envolve conteúdo de estatística, especificamente sobre variância e desvio-padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a variância amostral é calculada e como podemos manipular as somas dos dados para chegar à fórmula alternativa apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da variância amostral. A variância amostral, representada por , é calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui, são os valores individuais da amostra, é a média da amostra, e é o número de observações na amostra.

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que essa variância também pode ser expressa de forma alternativa como:
Para fazer isso, vamos expandir e manipular a expressão original da variância.

Passo 4

Vamos começar expandindo o quadrado na fórmula original da variância:
Agora, substituímos essa expansão na fórmula da variância:

Passo 5

Vamos separar a soma em três partes:
Sabemos que , pois a soma dos valores é igual à média multiplicada pelo número de observações. Além disso, , já que estamos somando vezes.

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão da variância:
Simplificando o termo do meio:

Passo 7

Agora, combinamos os termos semelhantes:
E essa é a fórmula alternativa que queríamos provar!

Passo 8

Além disso, podemos reescrever essa expressão de outra forma. Note que , então:
Substituindo de volta na fórmula da variância:

Resposta

Então, mostramos que a variância amostral pode ser calculada tanto pela soma dos quadrados das diferenças em relação à média quanto pela fórmula alternativa envolvendo a soma dos quadrados dos valores e a soma dos valores ao quadrado. Portanto, a fórmula alternativa é válida e mais fácil de utilizar!

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Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Meses 8 9 4 5 3 6 8 6 6 8 5 5 6 4 4
Setor C C I I I C C I I C C I C I I
Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G
(b) Monte uma tabela de frequências para cada uma das variáveis. As tabelas devem conter as frequências absolutas simples e relativas.
Se . Calcular: .
Seja . Determine: