1. (OPCIONAL) Prove que o desvio-padrão amostral pode ser calculado com a seguinte fórmula alternativa (mais fácil de ser utilizada!):
s^2=sumi=1^n(xi-barx)^2n-1=sumi=1^n xi^2-(sumi=1^n xi)^2nn-1=sumi=1^n xi^2-n barx^2n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que a fórmula do desvio-padrão amostral pode ser calculada de uma maneira alternativa, que é mais fácil de usar. Isso envolve conteúdo de estatística, especificamente sobre variância e desvio-padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a variância amostral é calculada e como podemos manipular as somas dos dados para chegar à fórmula alternativa apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da variância amostral. A variância amostral, representada por s^2 = sumi=1^n(xi - barx)^2n - 1 , é calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui, são os valores individuais da amostra, é a média da amostra, e é o número de observações na amostra.

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que essa variância também pode ser expressa de forma alternativa como:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - (sumi=1^n xi)^2nn - 1
Para fazer isso, vamos expandir e manipular a expressão original da variância.

Passo 4

Vamos começar expandindo o quadrado na fórmula original da variância:
(xi - barx)^2 = xi^2 - 2xibarx + barx^2
Agora, substituímos essa expansão na fórmula da variância:
s^2 = sumi=1^n (xi^2 - 2xibarx + barx^2)n - 1

Passo 5

Vamos separar a soma em três partes:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - 2barxsumi=1^n xi + sumi=1^n barx^2n - 1
Sabemos que , pois a soma dos valores é igual à média multiplicada pelo número de observações. Além disso, , já que estamos somando vezes.

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão da variância:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - 2barx(nbarx) + nbarx^2n - 1
Simplificando o termo do meio:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - 2nbarx^2 + nbarx^2n - 1

Passo 7

Agora, combinamos os termos semelhantes:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - nbarx^2n - 1
E essa é a fórmula alternativa que queríamos provar!

Passo 8

Além disso, podemos reescrever essa expressão de outra forma. Note que (sumi=1^n xi)^2n = (nbarx)^2n = nbarx^2 , então:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - (sumi=1^n xi)^2nn - 1
Substituindo de volta na fórmula da variância:

Resposta

Então, mostramos que a variância amostral pode ser calculada tanto pela soma dos quadrados das diferenças em relação à média quanto pela fórmula alternativa envolvendo a soma dos quadrados dos valores e a soma dos valores ao quadrado. Portanto, a fórmula alternativa é válida e mais fácil de utilizar!

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