- (OPCIONAL) Prove que o desvio-padrão amostral pode ser calculado com a seguinte fórmula alternativa (mais fácil de ser utilizada!):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que a fórmula do desvio-padrão amostral pode ser calculada de uma maneira alternativa, que é mais fácil de usar. Isso envolve conteúdo de estatística, especificamente sobre variância e desvio-padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a variância amostral é calculada e como podemos manipular as somas dos dados para chegar à fórmula alternativa apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da variância amostral. A variância amostral, representada por
, é calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui,
são os valores individuais da amostra,
é a média da amostra, e
é o número de observações na amostra.
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que essa variância também pode ser expressa de forma alternativa como:
Para fazer isso, vamos expandir e manipular a expressão original da variância.
Passo 4
Vamos começar expandindo o quadrado na fórmula original da variância:
Agora, substituímos essa expansão na fórmula da variância:
Passo 5
Vamos separar a soma em três partes:
Sabemos que
, pois a soma dos valores é igual à média multiplicada pelo número de observações. Além disso,
, já que estamos somando
vezes.
Passo 6
Substituindo essas igualdades na expressão da variância:
Simplificando o termo do meio:
Passo 7
Agora, combinamos os termos semelhantes:
E essa é a fórmula alternativa que queríamos provar!
Passo 8
Além disso, podemos reescrever essa expressão de outra forma. Note que
, então:
Substituindo de volta na fórmula da variância:
Resposta
Então, mostramos que a variância amostral
pode ser calculada tanto pela soma dos quadrados das diferenças em relação à média quanto pela fórmula alternativa envolvendo a soma dos quadrados dos valores e a soma dos valores ao quadrado. Portanto, a fórmula alternativa é válida e mais fácil de utilizar!