Em 1610, Galileu usou um telescópio que ele próprio havia construído para descobrir quatro satélites de Júpiter, cujos raios orbitais médios a e períodos T aparecem na tabela a seguir.
Nome lcc hline Nome & $a(10^8 m)$ & $T$ (dias) hline lo & 4,22 & 1,77 Europa & 6,71 & 3,55 Ganimedes & 10,7 & 7,16 Calisto & 18,8 & 16,7 hline (dias)
lo 4,22 1,77
Europa 6,71 3,55
Ganimedes 10,7 7,16
Calisto 18,8 16,7
Meça a inclinação da reta e compare-a com o valor previsto pela terceira lei de Kepler.

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício sobre as luas de Júpiter descobertas pelo Galileu. A tabela mostra o raio orbital médio ( a) e o período ( T) de cada lua. A tarefa é medir a inclinação da reta que relaciona essas variáveis e ver se ela bate com o que a terceira lei de Kepler prevê. Vamos precisar entender o que é a terceira lei de Kepler e como calcular a inclinação de uma reta a partir dos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a terceira lei de Kepler. Ela afirma que o quadrado do período orbital ( T^2) é proporcional ao cubo do raio orbital médio ( a^3), ou seja:
T^2 propto a^3
Isso quer dizer que, se a gente fizer um gráfico de T^2 versus a^3, deve sair uma reta com inclinação constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular T^2 e a^3 para cada uma das luas usando os valores da tabela:
Para Io:
T^2 = (1,77)^2 = 3,13 dias^2
a^3 = (4,22)^3 = 75,31 times 10^24 m^3
Para Europa:
T^2 = (3,55)^2 = 12,60 dias^2
a^3 = (6,71)^3 = 302,75 times 10^24 m^3
Para Ganimedes:
T^2 = (7,16)^2 = 51,27 dias^2
a^3 = (10,7)^3 = 1228,5 times 10^24 m^3
Para Calisto:
T^2 = (16,7)^2 = 278,89 dias^2
a^3 = (18,8)^3 = 6641,5 times 10^24 m^3

Passo 4

Com esses valores, a gente pode montar uma tabela de a^3 versus T^2:
|c|c|c| hline Nome & a^3 times 10^24 m^3 & T^2 dias^2 hline Io & 75,31 & 3,13 Europa & 302,75 & 12,60 Ganimedes & 1228,5 & 51,27 Calisto & 6641,5 & 278,89 hline

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. Para isso, usamos a fórmula da inclinação ( m) de uma reta de regressão linear:
m = Nsum (a^3 T^2) - sum a^3 sum T^2Nsum (a^3)^2 - (sum a^3)^2
Onde N é o número de pontos (4 neste caso).
Vamos calcular cada parte:
N = 4
sum a^3 = 75,31 + 302,75 + 1228,5 + 6641,5 = 8247,06 times 10^24 m^3
sum T^2 = 3,13 + 12,60 + 51,27 + 278,89 = 345,89 dias^2
sum (a^3 T^2) = (75,31 times 3,13) + (302,75 times 12,60) + (1228,5 times 51,27) + (6641,5 times 278,89)
= 235,55 + 3813,45 + 62800,195 + 1850648,0435 approx 1914300,233 times 10^24 m^3 dias^2
sum (a^3)^2 = (75,31)^2 + (302,75)^2 + (1228,5)^2 + (6641,5)^2
= 567.9 + 91666,56 + 1503032,25 + 44014122,25 approx 45530688,95 times 10^48 m^6
Agora, substituindo na fórmula da inclinação:
m = 4 times 1914300,233 - 8247,06 times 345,894 times 45530688,95 - (8247,06)^2
m = 7657201 - 2846890,6182123475,8 - 68021673,2 = 4810310,4114101802,6 approx 0,04213 dias^210^24 m^3

Resposta

A inclinação da reta obtida é aproximadamente 0,0421 dias^2 times 10^-24 m^-3. Comparando com a previsão da terceira lei de Kepler, que sugere que T^2 propto a^3 com uma inclinação teórica de 1, a nossa inclinação empírica está numa escala diferente devido às unidades utilizadas, mas a relação proporcional entre T^2 e a^3 está de acordo com a teoria de Kepler.

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