Em 1610, Galileu usou um telescópio que ele próprio havia construído para descobrir quatro satélites de Júpiter, cujos raios orbitais médios
e períodos
aparecem na tabela a seguir.
Nome
(dias)
lo
4,22
1,77
Europa
6,71
3,55
Ganimedes
10,7
7,16
Calisto
18,8
16,7
Meça a inclinação da reta e compare-a com o valor previsto pela terceira lei de Kepler.
Nome |
|
|
lo | 4,22 | 1,77 |
Europa | 6,71 | 3,55 |
Ganimedes | 10,7 | 7,16 |
Calisto | 18,8 | 16,7 |
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício sobre as luas de Júpiter descobertas pelo Galileu. A tabela mostra o raio orbital médio (
) e o período (
) de cada lua. A tarefa é medir a inclinação da reta que relaciona essas variáveis e ver se ela bate com o que a terceira lei de Kepler prevê. Vamos precisar entender o que é a terceira lei de Kepler e como calcular a inclinação de uma reta a partir dos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a terceira lei de Kepler. Ela afirma que o quadrado do período orbital (
) é proporcional ao cubo do raio orbital médio (
), ou seja:
Isso quer dizer que, se a gente fizer um gráfico de
versus
, deve sair uma reta com inclinação constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
para cada uma das luas usando os valores da tabela:
Para Io:
Para Europa:
Para Ganimedes:
Para Calisto:
Passo 4
Com esses valores, a gente pode montar uma tabela de
versus
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a inclinação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. Para isso, usamos a fórmula da inclinação (
) de uma reta de regressão linear:
Onde
é o número de pontos (4 neste caso).
Vamos calcular cada parte:
Agora, substituindo na fórmula da inclinação:
Resposta
A inclinação da reta obtida é aproximadamente
. Comparando com a previsão da terceira lei de Kepler, que sugere que
com uma inclinação teórica de
, a nossa inclinação empírica está numa escala diferente devido às unidades utilizadas, mas a relação proporcional entre
e
está de acordo com a teoria de Kepler.