Seja A=[lll2 & 4 & 3 4 & 2 & 0 3 & 0 & 2].
Sejam v1=(0,-3,4) e v2=(5,4,3). Mostre que v1 e v1 são autovetores da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe pede para a gente mostrar que os vetores v1 = (0, -3, 4) e v2 = (5, 4, 3) são autovetores da matriz A = 2 & 4 & 3 4 & 2 & 0 3 & 0 & 2. Na matéria de Álgebra Linear, autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em uma versão “esticada” ou “encolhida” desse vetor original, ou seja, multiplicados por um autovalor. Para resolver isso, a gente vai precisar multiplicar a matriz A pelos vetores v1 e v2 e verificar se o resultado é o mesmo vetor multiplicado por algum número escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz A pelo vetor v1 = 0 -3 4. A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita multiplicando cada linha da matriz pelos componentes do vetor e somando os resultados. Vamos fazer isso passo a passo:
A cdot v1 = 2 & 4 & 3 4 & 2 & 0 3 & 0 & 2 cdot 0 -3 4
Calculando cada componente:
  1. Primeira linha:
(2 times 0) + (4 times -3) + (3 times 4) = 0 - 12 + 12 = 0
  1. Segunda linha:
(4 times 0) + (2 times -3) + (0 times 4) = 0 - 6 + 0 = -6
  1. Terceira linha:
(3 times 0) + (0 times -3) + (2 times 4) = 0 + 0 + 8 = 8
Então, o resultado da multiplicação é:
A cdot v1 = 0 -6 8

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse resultado é igual a um número escalar vezes o vetor original v1. Ou seja, queremos ver se existe algum lambda tal que:
A cdot v1 = lambda cdot v1
Substituindo o que já calculamos:
0 -6 8 = lambda cdot 0 -3 4
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. lambda
    Onde quer dizer que qualquer lambda satisfaz essa equação.
  2. -6 = -3lambda implies lambda = 2
    Resolvendo para lambda = 2:
8 = 2 times 4 implies 8 = 8
  1. lambda = 2
    Substituindo :
Que confirma que funciona.

Passo 4

Agora que verificamos que A cdot v1 = 2 cdot v1, isso significa que v1 é realmente um autovetor da matriz A com o autovalor lambda = 2. Vamos repetir o mesmo processo para o vetor v2 = 5 4 3.
Primeiro, multiplicamos A por v2:
A cdot v2 = 2 & 4 & 3 4 & 2 & 0 3 & 0 & 2 cdot 5 4 3
Calculando cada componente:
  1. Primeira linha:
(2 times 5) + (4 times 4) + (3 times 3) = 10 + 16 + 9 = 35
  1. Segunda linha:
(4 times 5) + (2 times 4) + (0 times 3) = 20 + 8 + 0 = 28
  1. Terceira linha:
(3 times 5) + (0 times 4) + (2 times 3) = 15 + 0 + 6 = 21
Então, o resultado é:
A cdot v2 = 35 28 21

Passo 5

Vamos ver se esse resultado é igual a algum lambda vezes v2:
35 28 21 = lambda cdot 5 4 3
Isso nos dá:
  1. lambda = 355 = 7
lambda = 284 = 7
  1. lambda = 213 = 7
lambda = 7
Todos os componentes confirmam que .

Resposta

Os vetores v1 = (0, -3, 4) e v2 = (5, 4, 3) são autovetores da matriz A com os autovalores lambda = 2 e lambda = 7, respectivamente.

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