Seja .
Sejam e . Mostre que e são autovetores da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe pede para a gente mostrar que os vetores e são autovetores da matriz . Na matéria de Álgebra Linear, autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em uma versão “esticada” ou “encolhida” desse vetor original, ou seja, multiplicados por um autovalor. Para resolver isso, a gente vai precisar multiplicar a matriz pelos vetores e e verificar se o resultado é o mesmo vetor multiplicado por algum número escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar a matriz pelo vetor . A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita multiplicando cada linha da matriz pelos componentes do vetor e somando os resultados. Vamos fazer isso passo a passo:
Calculando cada componente:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, o resultado da multiplicação é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse resultado é igual a um número escalar vezes o vetor original . Ou seja, queremos ver se existe algum tal que:
Substituindo o que já calculamos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Onde quer dizer que qualquer satisfaz essa equação.
Resolvendo para :
Substituindo :
Que confirma que funciona.
Passo 4
Agora que verificamos que , isso significa que é realmente um autovetor da matriz com o autovalor. Vamos repetir o mesmo processo para o vetor .
Primeiro, multiplicamos por :
Calculando cada componente:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, o resultado é:
Passo 5
Vamos ver se esse resultado é igual a algum vezes :
Isso nos dá:
Todos os componentes confirmam que .
Resposta
Os vetores e são autovetores da matriz com os autovalores e , respectivamente.