Dados
e
e
vetores em
e
, mostre as seguintes propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores
,
e
no espaço tridimensional
, e um número real
. O objetivo aqui é mostrar que multiplicar a soma de
e
por
é o mesmo que multiplicar cada vetor por
individualmente e depois somar os resultados. Isso faz parte da matéria de álgebra vetorial, mais especificamente das propriedades das operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a soma de dois vetores. Se
e
, a soma
é feita somando componente por componente:
Isso significa que a gente soma as primeiras coordenadas, as segundas e as terceiras separadamente.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar esse vetor resultante por
. A multiplicação de um escalar por um vetor também é feita componente por componente. Então:
Aqui, distribuímos o
para cada componente da soma.
Passo 4
Vamos agora distribuir o
dentro de cada parêntese:
Isso foi feito aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, ou seja,
para cada componente.
Passo 5
Observando o resultado, temos que:
Isso mostra que multiplicar a soma dos vetores por
é o mesmo que multiplicar cada vetor por
e depois somar as vezes.
Resposta
Portanto, mostramos que: