Dados e e vetores em e , mostre as seguintes propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores , e no espaço tridimensional , e um número real . O objetivo aqui é mostrar que multiplicar a soma de e por é o mesmo que multiplicar cada vetor por individualmente e depois somar os resultados. Isso faz parte da matéria de álgebra vetorial, mais especificamente das propriedades das operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a soma de dois vetores. Se e , a soma é feita somando componente por componente:
Isso significa que a gente soma as primeiras coordenadas, as segundas e as terceiras separadamente.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar esse vetor resultante por . A multiplicação de um escalar por um vetor também é feita componente por componente. Então:
Aqui, distribuímos o para cada componente da soma.
Passo 4
Vamos agora distribuir o dentro de cada parêntese:
Isso foi feito aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, ou seja, para cada componente.
Passo 5
Observando o resultado, temos que:
Isso mostra que multiplicar a soma dos vetores por é o mesmo que multiplicar cada vetor por e depois somar as vezes.