Dados u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2) e w=(x3, y3, z3) vetores em R^3 e k in R, mostre as seguintes propriedades: k(u+v)=k u+k v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores , e no espaço tridimensional , e um número real . O objetivo aqui é mostrar que multiplicar a soma de e por é o mesmo que multiplicar cada vetor por individualmente e depois somar os resultados. Isso faz parte da matéria de álgebra vetorial, mais especificamente das propriedades das operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a soma de dois vetores. Se u + v = (x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2) e , a soma é feita somando componente por componente:
Isso significa que a gente soma as primeiras coordenadas, as segundas e as terceiras separadamente.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar esse vetor resultante por k(u + v) = k(x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2) = (k(x1 + x2), , k(y1 + y2), , k(z1 + z2)) . A multiplicação de um escalar por um vetor também é feita componente por componente. Então:
Aqui, distribuímos o para cada componente da soma.

Passo 4

Vamos agora distribuir o (kx1 + kx2, , ky1 + ky2, , kz1 + kz2) dentro de cada parêntese:
Isso foi feito aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, ou seja, para cada componente.

Passo 5

Observando o resultado, temos que:
(kx1, , ky1, , kz1) + (kx2, , ky2, , kz2) = ku + kv
Isso mostra que multiplicar a soma dos vetores por é o mesmo que multiplicar cada vetor por e depois somar as vezes.

Resposta

Portanto, mostramos que:
k(u + v) = ku + kv

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