176 | 177 | 174 | 182 | 181 | 192 | 171 | 167 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
178 | 176 | 179 | 181 | 177 | 165 | 179 | 192 |
a) Determine um intervalo de confiança para o valor médio real desta dimensão. (*) R. Para 90% de confiança, 174,75 a 181,12 mm.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um intervalo de confiança para o valor médio real dessa dimensão, que está relacionada a medidas em milímetros. Isso está dentro do conteúdo de Estatística, mais especificamente sobre Intervalos de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student devido ao tamanho da amostra ser pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (x̄) dos dados fornecidos. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Aqui estão os valores que temos:
176, 177, 174, 182, 181, 192, 171, 167, 178, 176, 179, 181, 177, 165, 179, 192.
Vamos somar todos esses valores:
176 + 177 + 174 + 182 + 181 + 192 + 171 + 167 + 178 + 176 + 179 + 181 + 177 + 165 + 179 + 192 = 2850
Agora, dividimos pela quantidade de dados, que são 16:
Média (x̄) = 2850 / 16 = 178,125 mm
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão (s) da amostra, que nos mostra o quanto os dados estão dispersos em relação à média. A fórmula para o desvio padrão da amostra é:
Vamos calcular cada diferença entre cada valor e a média, elevar ao quadrado, somar tudo e depois dividir por (n - 1), onde n é o número de observações.
Após fazer os cálculos, obtemos:
Desvio padrão (s) ≈ 8,25 mm
Passo 4
Agora, vamos determinar o erro padrão da média (SE), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de observações:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como a amostra é pequena (n < 30) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico (t*) correspondente ao nível de confiança de 90%.
Para n = 16, os graus de liberdade (df) são:
Consultando a tabela t para 90% de confiança e 15 graus de liberdade, encontramos:
t* ≈ 1,753
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o intervalo de confiança (IC) usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Calculando a margem de erro:
Então:
Isso nos dá:
Resposta
Para 90% de confiança, o intervalo de confiança para a média real dessa dimensão é de aproximadamente 174,51 mm a 181,74 mm.