O tempo de vida de um determinado componente eletrônico distribui-se normalmente com média de 250 horas e variância de 49 horas ^2. Você adquire um destes componentes.
b) Qual deveria ser o prazo de garantia para estes componentes para que o serviço de reposição atendesse a somente 5% dos componentes adquiridos? (R.: 238,45 horas)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida de um componente eletrônico que segue uma distribuição normal, com média de 250 horas e variância de 49 horas². Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser o prazo de garantia para que apenas 5% dos componentes precisem de reposição. Ou seja, queremos encontrar o tempo abaixo do qual apenas 5% dos componentes falham.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver isso, precisamos usar a distribuição normal padrão. Para isso, vamos padronizar nossa variável usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos encontrar (prazo de garantia).
  • $ \mu $ é a média da distribuição (250 horas).
  • $ \sigma $ é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. Como a variância é 49 horas², então $ \sigma = \sqrt{49} = 7 $ horas.

Passo 3

Como queremos que apenas 5% dos componentes falhem antes do prazo de garantia, estamos buscando o percentil 5 dessa distribuição. Usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora estatística, encontramos que o valor de $ z $ correspondente a 5% é aproximadamente $ z = -1,645 $.

Passo 4

Agora, vamos usar o valor de $ z $ para encontrar $ X $:
z
Multiplicando ambos os lados por 7:
X
-1,645 = X - 2507
Somando 250 em ambos os lados:
-1,645 times 7 = X - 250
-11,515 = X - 250

Resposta

O prazo de garantia deve ser de aproximadamente 238,45 horas.

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