17a.
y'' + t y' + e^(-t^2) y = 0, -infinito < t < infinito

Passo 1

Neste exercício, temos a equação diferencial de segunda ordem válida para todos os números reais . Vamos resolver essa equação utilizando métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis. Para isso, precisaremos entender como lidar com termos que variam com e aplicar técnicas apropriadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação:
  • Coeficiente de : 1
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Como os coeficientes dependem de , estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, uma abordagem comum é procurar uma solução em série de potências, assumindo que pode ser expressa como uma soma infinita de termos envolvendo . Outra opção é tentar encontrar uma solução particular ou usar métodos de transformação, se aplicável.

Passo 4

Vamos tentar a abordagem das séries de potências. Suponha que a solução possa ser escrita como:
onde são os coeficientes a serem determinados.

Passo 5

Calculamos as derivadas necessárias:

Passo 6

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 7

Simplificamos os termos:
Observamos que pode ser expandido em uma série de potências:

Passo 8

Substituímos essa expansão na equação:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero para satisfazer a igualdade para todos os . Isso nos dará uma relação de recorrência entre os coeficientes .

Passo 10

No entanto, a presença do termo na série de complica a obtenção de uma relação de recorrência simples. Isso sugere que a solução não pode ser expressa de forma fechada usando funções elementares e, portanto, precisamos considerar soluções em termos de séries ou funções especiais.

Passo 11

Dessa forma, concluímos que a equação diferencial dada não possui uma solução geral em termos de funções elementares conhecidas. A solução deve ser expressa como uma série de potências ou envolvendo funções especiais que satisfazem a equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial não pode ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, ela é representada por uma série de potências ou funções especiais que satisfazem a equação.

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