Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com Cálculo de Integrais Duplas, que é uma parte do Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e talvez mudar a ordem de integração se ajudar a simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 2. É útil desenhar essa região no plano para visualizar melhor.
Passo 3
Desenhando a região:
O limite inferior de é 0 e o superior é 1.
Para cada , vai de até 2.
Isso forma um trapézio no plano , sendo limitado por , , e .
Passo 4
Agora, vamos tentar inverter a ordem das integrais para ver se facilita a resolução. Para fazer isso, precisamos reescrever os limites de integração com primeiro e depois.
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a . A função não depende de , então a integral em será simples:
Passo 6
Agora, a integral ficou reduzida a uma única variável:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir: