Calcule as seguintes integrais duplas:
(a) integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com Cálculo de Integrais Duplas, que é uma parte do Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e talvez mudar a ordem de integração se ajudar a simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 2. É útil desenhar essa região no plano para visualizar melhor.

Passo 3

Desenhando a região:
  • O limite inferior de é 0 e o superior é 1.
  • Para cada , vai de até 2.
Isso forma um trapézio no plano , sendo limitado por , , e .

Passo 4

Agora, vamos tentar inverter a ordem das integrais para ver se facilita a resolução. Para fazer isso, precisamos reescrever os limites de integração com integral0^2 integral0^x2 4 e^x^2 , dy , dx primeiro e depois.
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^x2 4 e^x^2 , dy = 4 e^x^2 cdot ( x2 - 0 ) = 2x e^x^2 . A função não depende de , então a integral em será simples:

Passo 6

Agora, a integral ficou reduzida a uma única variável:
integral0^2 2x e^x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^2 2x e^x^2 , dx = integralu=0^u=4 e^u , du
Pois quando , , e quando , .

Passo 8

Integrando integral0^4 e^u , du = e^u |0^4 = e^4 - e^0 = e^4 - 1 em relação a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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