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Determinar equações paramétricas e uma equação geral do plano que
(a) Passa pelos pontos P=(-2,1,-4), Q=(3,0,-1) e R=(5,2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar as equações paramétricas e uma equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . O conteúdo que vamos usar aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar vetores no plano e usar esses vetores para montar as equações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores PQ = Q - P = (3 - (-2), 0 - 1, -1 - (-4)) = (5, -1, 3) e PR = R - P = (5 - (-2), 2 - 1, -1 - (-4)) = (7, 1, 3) :

Passo 3

Agora que temos dois vetores no plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ambos n = PQ times PR e n = i & j & k 5 & -1 & 3 7 & 1 & 3 = i((-1)(3) - (3)(1)) - j((5)(3) - (3)(7)) + k((5)(1) - (-1)(7)) . Para isso, usamos o produto vetorial:
n = i(-3 - 3) - j(15 - 21) + k(5 + 7) = i(-6) - j(-6) + k(12)
Vamos calcular:
n = (-6, 6, 12)
n = (-1, 1, 2)
Podemos simplificar dividindo por 6:

Passo 4

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -1(x + 2) + 1(y - 1) + 2(z + 4) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
- x - 2 + y - 1 + 2z + 8 = 0
Onde - x + y + 2z + 5 = 0 e x - y - 2z - 5 = 0 . Substituindo:
Simplificando:
Ou, multiplicando por -1 para deixar mais bonito:

Passo 5

Agora, vamos para as equações paramétricas. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser descrito usando um ponto inicial e os vetores diretores. Vamos usar o ponto x = -2 + 5s + 7t y = 1 - s + t z = -4 + 3s + 3t e os vetores e :
Onde e são parâmetros reais.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = -2 + 5s + 7t y = 1 - s + t z = -4 + 3s + 3t
E a equação geral do plano é:
x - y - 2z - 5 = 0

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