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Determinar equações paramétricas e uma equação geral do plano que
(a) Passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar as equações paramétricas e uma equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . O conteúdo que vamos usar aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar vetores no plano e usar esses vetores para montar as equações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora que temos dois vetores no plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ambos e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular:
n = (-1, 1, 2)
Podemos simplificar dividindo por 6:
Passo 4
Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -1(x + 2) + 1(y - 1) + 2(z + 4) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
- x - 2 + y - 1 + 2z + 8 = 0
Onde - x + y + 2z + 5 = 0 e x - y - 2z - 5 = 0 . Substituindo:
Simplificando:
Ou, multiplicando por -1 para deixar mais bonito:
Passo 5
Agora, vamos para as equações paramétricas. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser descrito usando um ponto inicial e os vetores diretores. Vamos usar o ponto x = -2 + 5s + 7t y = 1 - s + t z = -4 + 3s + 3t e os vetores e :