Seja :
Encontre um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes da matriz . Isso significa que queremos encontrar tantos autovetores diferentes quanto possível, que não sejam combinações uns dos outros. Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de autovalores e autovetores de matrizes. A primeira coisa que vamos fazer é encontrar os autovalores de , que nos ajudarão a determinar os autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Então, vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Resolvendo essa expressão passo a passo:
Simplificando:
Agora, multiplicamos:
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação cúbica . Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Uma maneira de fazer isso é testar possíveis valores de que sejam divisores do termo constante (45).
Testando :
Então, é um autovalor. Agora, vamos fatorar da equação cúbica:
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para :
Vamos resolver :
Isso nos dá o sistema de equações:
Observamos que todas as equações são equivalentes, então temos duas variáveis livres. Vamos expressar em termos de e :
Podemos escolher e , então:
Isso mostra que o espaço de autovetores para é gerado pelos vetores e .
Para :
Vamos resolver :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Então, temos e . Vamos escolher , então:
Portanto, o espaço de autovetores para é gerado pelo vetor .
Passo 6
Agora, vamos verificar se os autovetores que encontramos são linearmente independentes.
Temos dois autovetores para :
E um autovetor para :
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de é: