Seja A=[rrr4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2] :
Encontre um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes da matriz . Isso significa que queremos encontrar tantos autovetores diferentes quanto possível, que não sejam combinações uns dos outros. Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de autovalores e autovetores de matrizes. A primeira coisa que vamos fazer é encontrar os autovalores de , que nos ajudarão a determinar os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = 4 - lambda & 1 & -1 2 & 5 - lambda & -2 1 & 1 & 2 - lambda que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Então, vamos montar a matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(5 - lambda)(2 - lambda) - (-2)(1)] - 1[2(2 - lambda) - (-2)(1)] + (-1)[2(1) - (5 - lambda)(1)]
Resolvendo essa expressão passo a passo:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(5 - lambda)(2 - lambda) + 2] - 1[2(2 - lambda) + 2] - [2 - (5 - lambda)]
Simplificando:
= (4 - lambda)[(5 - lambda)(2 - lambda) + 2] - [4 - 2lambda + 2] - [2 - 5 + lambda]
= (4 - lambda)[(10 - 5lambda - 2lambda + lambda^2) + 2] - (6 - 2lambda) - (-3 + lambda)
= (4 - lambda)(lambda^2 -7lambda +12) -6 + 2lambda +3 - lambda
= (4 - lambda)(lambda^2 -7lambda +12) -3 + lambda
Agora, multiplicamos:
= 4lambda^2 -28lambda +48 - lambda^3 +7lambda^2 -12lambda -3 + lambda
= -lambda^3 +11lambda^2 -39lambda +45
Então, a equação característica é:
-lambda^3 +11lambda^2 -39lambda +45 = 0
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação cúbica 3^3 -11(3)^2 +39(3) -45 = 27 -99 +117 -45 = 0 . Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Uma maneira de fazer isso é testar possíveis valores de lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = (lambda - 3)(lambda^2 -8lambda +15) que sejam divisores do termo constante (45).
Testando lambda = 8 pm raiz64 -602 = 8 pm 22 = 5 ou 3 :
Então, é um autovalor. Agora, vamos fatorar da equação cúbica:
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para A - 3I = 1 & 1 & -1 2 & 2 & -2 1 & 1 & -1 :
Vamos resolver v1 + v2 - v3 = 0 2v1 + 2v2 - 2v3 = 0 v1 + v2 - v3 = 0 :
v1 = -v2 + v3
Isso nos dá o sistema de equações:
v = -v2 + v3 v2 v3 = s -1 1 0 + t 1 0 1
Observamos que todas as equações são equivalentes, então temos duas variáveis livres. Vamos expressar -1 1 0 em termos de 1 0 1 e A - 5I = -1 & 1 & -1 2 & 0 & -2 1 & 1 & -3 :
- v1 + v2 - v3 = 0 2v1 - 2v3 = 0 v1 + v2 -3v3 = 0
Podemos escolher - v3 + v2 - v3 = 0 Rightarrow v2 = 2v3 e v3 + 2v3 -3v3 = 0 Rightarrow 0 = 0 , então:
v = t 1 2 1
Isso mostra que o espaço de autovetores para 1 2 1 é gerado pelos vetores e .
Para :
Vamos resolver :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Então, temos e . Vamos escolher , então:
Portanto, o espaço de autovetores para é gerado pelo vetor .

Passo 6

Agora, vamos verificar se os autovetores que encontramos são linearmente independentes.
Temos dois autovetores para v1 = -1 1 0, v2 = 1 0 1 :
v3 = 1 2 1
E um autovetor para M = -1 & 1 &1 1 & 0 &2 0 &1 &1 :
det(M) = -1 cdot (0 cdot1 -2 cdot1) -1 cdot (1 cdot1 -2 cdot0) +1 cdot (1 cdot1 -0 cdot0) = -1(-2) -1(1) +1(1) = 2 -1 +1 = 2 neq 0
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de S = -1 1 0 , 1 0 1 , 1 2 1 é:

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