Seja :
Encontre um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes de A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes da matriz . Isso significa que queremos encontrar tantos autovetores diferentes quanto possível, que não sejam combinações uns dos outros. Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de autovalores e autovetores de matrizes. A primeira coisa que vamos fazer é encontrar os autovalores de , que nos ajudarão a determinar os autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = 4 - lambda & 1 & -1 2 & 5 - lambda & -2 1 & 1 & 2 - lambda que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Então, vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Agora, precisamos resolver a equação cúbica 3^3 -11(3)^2 +39(3) -45 = 27 -99 +117 -45 = 0 . Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Uma maneira de fazer isso é testar possíveis valores de lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = (lambda - 3)(lambda^2 -8lambda +15) que sejam divisores do termo constante (45).
Observamos que todas as equações são equivalentes, então temos duas variáveis livres. Vamos expressar -1 1 0 em termos de 1 0 1 e A - 5I = -1 & 1 & -1 2 & 0 & -2 1 & 1 & -3 :